Question

7.=满足 (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1 ,求xyz的最小值

Answer 1

问：7.=满足 (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1 ,求xyz的最小值

答：要求满足方程 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \) 的 \( x, y, z \) 的最小值，我们需要使用拉格朗日乘数法来求解。定义拉格朗日函数： \[ L(x, y, z, \lambda) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - \lambda \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1\right) \] 然后我们对 \( L \) 关于 \( x, y, z, \) 和 \( \lambda \) 分别求偏导，并令它们等于零： \[ \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{2x}{a^2} - 2\lambda \frac{2x}{a^2} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{2y}{b^2} - 2\lambda \frac{2y}{b^2} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = \frac{2z}{c^2} - 2\lambda \frac{2z}{c^2} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0 \] 从第一个到第三个方程，我们可以得到 \( x = \lambda x \)， \( y = \lambda y \)， \( z = \lambda z \)，也就是 \( x = y = z = 0 \) 或者 \( \lambda = 1 \)。如果 \( x = y = z = 0 \)，那么方程不成立。所以我们考虑 \( \lambda = 1 \)，代入第四个方程： \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \] 这意味着当 \( x = a, y = b, z = c \) 时，方程成立。所以 \( x = a, y = b, z = c\)

答：要求满足方程 `(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1` 下的 xyz 的最小值，我们可以使用拉格朗日乘数法。 定义拉格朗日函数为： L(x, y, z, λ) = x * y * z + λ * ((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) - 1) 我们需要求解以下方程组： ∂L/∂x = 0 ∂L/∂y = 0 ∂L/∂z = 0 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) - 1 = 0 对拉格朗日函数求偏导并令其为零： ∂L/∂x = y * z + 2λ * (x/a^2) = 0 ∂L/∂y = x * z + 2λ * (y/b^2) = 0 ∂L/∂z = x * y + 2λ * (z/c^2) = 0 解上述方程组，得到 x = 0, y = 0, z = 0 或者 λ = 0。 由于方程中的 λ 对 xyz 没有限制条件，因此最小值可能出现在 x = 0, y = 0, z = 0 的情况下。 综上所述，满足方程 `(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1` 下的 xyz 的最小值为 0。

答：最上面那个是错的

答：看下面这个