Question

x^5+y^5=5x^2y^2

Answer 1

问：x^5+y^5=5x^2y^2

答：您好，方程x^5+y^5=5x^2y^2的解为x^2+y^2=k。其中k=3xy+sqrt(13x^2y^2)/2或k=3xy-sqrt(13x^2y^2)/2。我们可以观察到一个显然的解是x=y=0。现在我们来寻找其他可能的解。由于方程右边的5x^2y^2不能为0，所以x^2+y^2不能为0，也就是说x和y不能同时为零。我们将方程(x^2+y^2)(x^3-2xy^2+y^3)=5x^2y^2重新写为(x^2+y^2)/(xy)^2=(x^3-2xy^2+y^3)/(xy)^2。将x^3和y^3拆开，我们得到(x^2+y^2)/(xy)^2=(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2)/(xy)^2。这意味着(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2)=(xy)^2。如果我们令k=x^2+y^2，那么方程可以简化为(k-3xy)k=(xy)^2。展开方程，我们得到k^2-3xyk=(xy)^2。将方程重新整理为k^2-3xyk-(xy)^2=0。这是一个关于k的二次方程。我们通过求解这个二次方程，可以找到满足原方程的解。使用二次方程的求根公式，我们得到：k=(3xy±sqrt(9x^2y^2+4(x^2)(y^2)))/2简化后得到：k=(3xy±sqrt(9x^2y^2+4x^2y^2))/2k=(3xy±sqrt(13x^2y^2))/2。这意味着k必须是3xy加上或减去sqrt(13x^2y^2)的一半。因此，解为x^2+y^2=k，其中k=3xy+sqrt(13x^2y^2)/2或k=3xy-sqrt(13x^2y^2)/2。

答：这个题目还是有点难度的，你是还有什么不清楚的吗？

问：他围成的图形面积怎么求

问：用二重积分

答：具体题目你可以发给我，我好帮你看看。

答：还是最开始那个题目吗？

问：没错

问：这是完整题目

答：首先，将曲线方程变换为参数方程形式：令x=rcosθ，y=rsinθ，则曲线方程变为：(rcosθ)^5+(rsinθ)^5=5a((rcosθ)^2)((rsinθ)^2)r^5cos^5θ+r^5sin^5θ=5ar^4cos^2θsin^2θr^5(cos^5θ+sin^5θ)=5ar^4cos^2θ*sin^2θ整理得：r=sqrt(5acos^2θsin^2θ/(cos^5θ+sin^5θ))接下来，我们使用参数方程进行二重积分计算：∬(x^5+y^5)dxdy，其中曲线范围为r=sqrt(5acos^2θsin^2θ/(cos^5θ+sin^5θ))首先，计算积分的范围，即确定θ的取值范围。考虑到曲线方程中的x和y可以在整个圆周上取值，所以θ的范围为0到2π。然后，计算Jacobian行列式，这里是r。因此，积分的表达式变为：A=∫∫rdrdθ，积分范围为θ=[0,2π]，r=[0,sqrt(5acos^2θsin^2θ/(cos^5θ+sin^5θ))]接下来，我们需要通过变量替换将积分转化为简化形式。我们可以使用极坐标变换来简化积分。令u=r^2，v=θ，则r=sqrt(u)和dr=(1/2)du。A=(1/2)∫∫sqrt(u)dudv，积分范围为v=[0,2π]，u=[0,sqrt(5acos^2θsin^2θ/(cos^5θ+sin^5θ))]^2现在，我们可以进行积分计算：A=(1/2)∫[0,2π]∫[0,sqrt(5acos^2θsin^2θ/(cos^5θ+sin^5θ))]^2sqrt(u)dudv对于内积分，我们只需要计算sqrt(u)的积分，得到(2/3)u^(3/2)。然后，我们将表达式代入到外积分中：A=(1/2)∫[0,2π][(2/3)(sqrt(5acos^2θsin^2θ/(cos^5θ+sin^5θ)))^(3/2)]dv最后，计算这个二重积分的值即可得到曲线围成的面积。

答：这个最后不好计算的。