3.计算I=∫∫∫Ωe^zdxdydz,其中Ω由抛物面z=x^2+y^2和平面z=1,z=2围成.
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首先，我们可以将积分区域Ω用极坐标表示。根据抛物面方程z=x^2+y^2，
我们可以用极坐标表示为 z=r^2，其中r为极径。
而平面z=1和z=2分别对应着z=r^2=1和z=r^2=2，即 r=1 和 r=√2。
接下来，我们将积分区域Ω转换为极坐标下的累次积分。
注意到积分区域Ω在xy平面上是个圆盘，所以我们只需对极坐标变量r、θ进行积分。
首先，我们计算积分区域Ω在极坐标下的范围。
极径r的范围是1到√2，极角θ的范围可以选择0到2π，即完整地遍历了整个圆盘。
然后，我们计算被积函数e^z在极坐标下的表达式。
根据z=r^2，我们有 e^z=e^(r^2)。
因此，在极坐标下，被积函数可以表示为 e^(r^2)。
最后，我们进行累次积分。
首先对于变量r进行积分，积分上限为√2，下限为1。
再对变量θ进行积分，积分上限为2π，下限为0。
最终得到积分结果I。
综上所述，计算积分I的过程如下：
I = ∫∫∫Ωe^zdxdydz
= ∫(r=1 to √2) ∫(θ=0 to 2π) ∫(z=r^2) e^(r^2) r dz dθ dr
咨询记录 · 回答于2023-12-27
3.计算I=∫∫∫Ωe^zdxdydz,其中Ω由抛物面z=x^2+y^2和平面z=1,z=2围成.
首先，我们可以将积分区域Ω用极坐标表示。根据抛物面方程z=x^2+y^2，
我们可以用极坐标表示为 z=r^2，其中r为极径。而平面z=1和z=2分别对应着z=r^2=1和z=r^2=2，即 r=1 和 r=√2。
接下来，我们将积分区域Ω转换为极坐标下的累次积分。注意到积分区域Ω在xy平面上是个圆盘，所以我们只需对极坐标变量r、θ进行积分。
首先，我们计算积分区域Ω在极坐标下的范围。极径r的范围是1到√2，极角θ的范围可以选择0到2π，即完整地遍历了整个圆盘。
然后，我们计算被积函数e^z在极坐标下的表达式。根据z=r^2，我们有 e^z=e^(r^2)。因此，在极坐标下，被积函数可以表示为 e^(r^2)。
最后，我们进行累次积分。首先对于变量r进行积分，积分上限为√2，下限为1。再对变量θ进行积分，积分上限为2π，下限为0。最终得到积分结果I。
综上所述，计算积分I的过程如下：
I = ∫∫∫Ωe^zdxdydz
= ∫(r=1 to √2) ∫(θ=0 to 2π) ∫(z=r^2) e^(r^2) r dz dθ dr
所以最后答案算出来是多少
或者说z的积分上下限是什么
我取1到2不对
最后答案是πe²
z的积分上下限是多少
还在嘛？
我们可以将Ω表示为以下形式：
Ω = {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ x^2 + y^2 ≤ 1; 1 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ x^2 + y^2 ≤ 2}
接下来，我们开始进行积分的计算。根据题目的要求，我们首先需要计算积分的范围。
对于 $z \in [0, 1]$，$x^2 + y^2 ≤ 1$，我们可以将其写成极坐标形式：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $0 ≤ r ≤ 1$，$0 ≤ \theta ≤ 2\pi$
对于 $z \in [1, 2]$，$x^2 + y^2 ≤ 2$，同样我们可以使用极坐标形式表示：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $0 ≤ r ≤ \sqrt{2}$，$0 ≤ \theta ≤ 2\pi$
将上述变量替换到积分中，得到：
$I = \int\int\int_{\Omega} e^{z} dxdydz = \int(0 \to 2\pi) \int(0 \to 1) \int(0 \to 1) e^{z} r dr d\theta dz + \int(0 \to 2\pi) \int(0 \to \sqrt{2}) \int(1 \to 2) e^{z} r dr d\theta dz$
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