(2014?泸州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE?CA.(1)求证:BC
(2014?泸州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE?CA.(1)求证:BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P,...
(2014?泸州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE?CA.(1)求证:BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD=22,求DF的长.
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(1)证明:∵DC2=CE?CA,
∴
=
,
△CDE∽△CAD,
∴∠CDB=∠DAC,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴BC=CD;
(2)解:如图,连接OC,
∵BC=CD,
∴∠DAC=∠CAB,
又∵AO=CO,
∴∠CAB=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴AD∥OC,
∴
=
,
∵PB=OB,CD=2
,
∴
=
∴PC=4
又∵PC?PD=PB?PA
∴4
?(4
+2
)=OB?3OB
∴OB=4,即AB=2OB=8,PA=3OB=12,
在Rt△ACB中,
AC=
∴
DC |
CE |
CA |
DC |
△CDE∽△CAD,
∴∠CDB=∠DAC,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴BC=CD;
(2)解:如图,连接OC,
∵BC=CD,
∴∠DAC=∠CAB,
又∵AO=CO,
∴∠CAB=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴AD∥OC,
∴
PC |
PD |
PO |
PA |
∵PB=OB,CD=2
2 |
∴
PC | ||
PC+2
|
2 |
3 |
∴PC=4
2 |
又∵PC?PD=PB?PA
∴4
2 |
2 |
2 |
∴OB=4,即AB=2OB=8,PA=3OB=12,
在Rt△ACB中,
AC=
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