微分几何题

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摘要定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积

设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：

弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①

线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②

因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于

Δ∑＝π(y＋y＋Δy)

＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]

＝2πyds＋o(dx)，

显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有

从而旋转体的侧面积为

相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．

例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．

由⑤式得侧面积为

例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．

故对哪个半圆周都有

代入公式⑤即得所求表面积为

解采用参数坐标较为方便．

令 x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π

弧长微分

故表面积为

我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来

咨询记录 · 回答于2022-03-29

微分几何题

你好什么问题呀

第三题

可以吗

可以哦

大概多久可以写出来

好了

在上面图片里

定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于Δ∑＝π(y＋y＋Δy)＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]＝2πyds＋o(dx)，显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有从而旋转体的侧面积为相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．由⑤式得侧面积为例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．故对哪个半圆周都有代入公式⑤即得所求表面积为解采用参数坐标较为方便．令 x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π弧长微分故表面积为我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来

这么快

那4 5也可以吗？我可以升级服务

可以的

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