Question

设4阶矩阵 A =( a1 , a2, a3 , a 1+ a 2)，其中a1， a2 ,a3线性无关， A * X =0的通解为

Answer 1

问：设4阶矩阵 A =( a1 , a2, a3 , a 1+ a 2)，其中a1， a2 ,a3线性无关， A * X =0的通解为

答：(1).a1,a2,a3线性无关,所以A的秩为3,所以基础解系的向量个数为4-3=1找一个齐次方程AX=0的通很显然,a1+a2+a3-a4=0,所以一个通解为[1 1 1 -1]^T找一个非齐次方程AX=b的特解,很显然,a1+a2+a3+a4=b,所以一个特解是[1 1 1 1 ]^T所以最终答案是x=k[1 1 1 -1]^T + [1 1 1 1 ]^T(2)A^2-A=0,所以A的特征值只能是1或0,又因为r(A)=3,所以特征值是三个1和一个0,那A+E的特征值就是三个2和一个1,|A+E|=2*2*2*1=8（3）构造齐次线性方程组[Aa1 Aa2 Aa3]X=0如果这个方程组只有零解,那当然系数矩阵的列向量线性无关,也就是Aa1,Aa2,Aa3无关原方程就是：A [a1 a2 a3]X=0由于A可逆,两边同时左乘A的逆[a1 a2 a3]X=0由于a1,a2,a3无关,所以X只有零解.从而命题得证

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