如何证明R是Q的向量空间

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摘要 **R作为Q-线性空间不是有限维的**，证明如下：

先证明一个引理：设$f(x),g(x)$是$Q$系数多项式，且$f(x)$在$Q$上不可约。如果$f(x)$与$g(x)$（在复数域内）有公共根，那么$g(x)$是$f(x)$的倍式。

引理的证明：设$d(x)$是$f(x)$与$g(x)$的最大公因式，$a$是二者的公共根，即有$f(a)=g(a)=0$。由Bezout定理，存在$Q$系数多项式$v(x),u(x)$，使$u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)$。代入$x=a$得$d(a)=u(a)f(a)+v(a)g(a)=0$。而由$f(x)$在$Q$上不可约，$d(x)$作为$f(x)$在$Q$上的因式只能为1或$f(x)$的非零常数倍。由$d(a)=0$，不可能是前者，于是$d(x)=c·f(x)(c≠0)$。又$d(x)$也是$g(x)$的因式，故$g(x)$是$f(x)=d(x)/c$的倍式，证毕。

任意取定正整数$n$，记$a=2^{1/n}$，显然$a$是$n$次多项式$f(x)=x^n-2$的一个根。考虑R中的$n$个元素：1，$a$, $a^2$, ..., $a^(n-1)$，断言它们在Q上线性无关。

设$b[0],b[1],...,b[n-1]∈Q$，使$b[0]+b[1]a+b[2]a^2+...+b[n-1]a^(n-1)=0$。取$g(x)=b[0]+b[1]x+b[2]x^2+...+b[n-1]x^(n-1)$，则$g(x)$是Q系数多项式，且$g(a)=0$.

根据Eisenstein判别法，$f(x)=x^n-2在Q上不可约。由f(x)与g(x)有公共根，使用引理得g(x)是f(x)的倍式。然而g(x)的次数

由n的任意性，R中存在任意多个在Q上线性无关的元素，因此作为Q-线性空间不是有限维的。可以说R是Q上的无穷维线性空间。（具体来说其维数与R等势，但要理解这一点需要集合论的进一步知识）。

咨询记录 · 回答于2024-01-05

如何证明R是Q的向量空间

R作为Q-线性空间不是有限维的，证明如下。先证明一个引理：设f(x)、g(x)是Q系数多项式，且f(x)在Q上不可约。如果f(x)与g(x)(在复数域内)有公共根，那么g(x)是f(x)的倍式。引理的证明：设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，a是二者的公共根，即有f(a)=g(a)=0。由Bezout定理，存在Q系数多项式v(x)、u(x)，使u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)。代入x=a得d(a)=u(a)f(a)+v(a)g(a)=0。而由f(x)在Q上不可约，d(x)作为f(x)在Q上的因式只能为1或f(x)的非零常数倍。由d(a)=0，不可能是前者，于是d(x)=c·f(x)(c≠0)。又d(x)也是g(x)的因式，故g(x)是f(x)=d(x)/c的倍式，证毕。任意取定正整数n，记a=2^(1/n)，显然a是n次多项式f(x)=x^n-2的一个根。考虑R中的n个元素：1,a,a^2,...,a^(n-1)，断言它们在Q上线性无关。设b[0],b[1],...,b[n-1]∈Q，使b[0]+b[1]a+b[2]a^2+...+b[n-1]a^(n-1)=0。取g(x)=b[0]+b[1]x+b[2]x^2+...+b[n-1]x^(n-1)，则g(x)是Q系数多项式，且g(a)=0。根据Eisenstein判别法，f(x)=x^n-2在Q上不可约。由f(x)与g(x)有公共根，使用引理得g(x)是f(x)的倍式。然而g(x)的次数

只要解释为什么R可以看成是Q上的向量空间就可以了

对R上任意n个向量2，2^（1/2），2^（1/3），…，2^（1/n），不存在Q上的n个不全为0的数k1，k2，…，kn使得k1*2+k2*2^（1/2）+…+kn*2^（1/n）=0，n可以是任意正整数，从而R看作Q上的线xing空间是无限维的

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