Question

k阶矩存在+k-1阶矩均存在如何证明

Answer 1

问：k阶矩存在+k-1阶矩均存在如何证明

答：您好，k阶矩存在+k-1阶矩均存在证明方法是对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X-c）^k]为X关于点c的k阶矩.c=0时,称其为X的k阶原点矩；c=E[X]时,称为k阶中心矩.

答：拓展:k阶原点矩：Uk=E(X^k)k阶中心矩：Vk=E((X-E(X))^k)期望=1阶原点矩方差=2阶中心矩高阶矩存在低阶矩一定存在(由|X|(k-1)<=|X|k+1可推)证明：同为中心矩或原点矩时积分符 |X|^(k-1) * p(x)dx<=积分符 (|X|^k+1) * p(x)dx= 积分符 |X|^k* p(x)dx+1积分符 |X|^ k* p(x)dx可积，则|X|^(k-1) * p(x)dx可积其中一个为原点矩另一个为中心矩当原点矩存在且阶数k高于中心矩中心矩可写为阶数低于k的原点矩的加减法表达式(参与加减法的每部分都可积)，于是有中心矩可积当中心矩存在且阶数k高于原点矩中心矩存在,则E(X)存在(中心矩:随机变量X距离中心E(X)的绝对距离的k次方的期望)所以只需证明2阶到k阶的原点矩存在由E(X)与E((X-E(X))^2)存在(高阶中心矩存在，低阶中心矩存在)可推E(X^2)存在由E(X)、E(X^ 2)与E((X-E(X))^3)存在可推E(X^3)存在归纳可推2阶到k阶的原点矩存在

问：EX^2存在，求证EX存在

答：EX^2存在，求证EX存在更一般地， E|X|^m≤E|X|^n+1＜∞, \text{ for } 0

答：所以EX存在

问：“k阶矩就是随机变量的k次方的数学期望。求证高阶矩存在，那么低阶矩一定存在。特例，EX^2存在，求证EX存在”。

答：这个结论是对的，高阶矩存在，则低阶矩一定存在。证明思路如下：对非负随机变量 X ，可以将它拆成大于1的部分和不大于1的部分：X=X\cdot I_{\{X>1\}}+X\cdot I_{\{X\leq1\}} ,其中 I 是indicator。不大于1的部分的任意（正整数）阶矩都存在且不大于1，不用管；大于1的部分，阶数越高矩越大，因为 a^x 在 a>1 时为增函数。因此如果高阶矩存在，即小于无穷，低阶矩一定存在。对一般的随机变量，先把它拆成正部与负部，然后用上面的非负随机变量的结论。从证明可以看出，这个结果不仅对概率空间对，对任意的有限测度空间都对。但是要注意的是此结果对无限测度空间不成立，比如赋勒贝格测度的实数空间， p>q>0 ，\int_{-\infty}^\infty f^p(x)dx 存在并不能推出 \int_{-\infty}^\infty f^q(x)dx 存在，原因是在这种情况下小于1的部分的积分仍然可能是无穷，而这部分是幂次的减函数。