Question

设函数f(x)在R内可导,且f(x)=0仅有n个实根(n≥2),则方程f'(x)=0的根个数

Answer 1

问：设函数f(x)在R内可导,且f(x)=0仅有n个实根(n≥2),则方程f'(x)=0的根个数

答：根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在区间[a,b]上是连续函数、导数存在且在区间[a,b]上绝对值最大的实数x0处取得最大值，则f(x0)=f(a)+f(b)/2。因此，设函数f(x)的n个实根分别为x1, x2,...xn，则方程f'(x)=0的根个数为n-1；即在函数f(x)的n个实根x1, x2,...xn之间，存在n-1个使得函数f(x)取得最大值或最小值的点，而这些点对应的函数f(x)满足f'(x)=0。