Question

由曲面x方+y方=z;y=x方;y=1;z=0围成立体在xoy平面的投影区域

Answer 1

问：由曲面x方+y方=z;y=x方;y=1;z=0围成立体在xoy平面的投影区域

答：您好，很高兴为您解答由曲面x方+y方=z;y=x方;y=1;z=0围成立体在xoy平面的投影区域，该立体在 xoy 平面的投影区域是由曲线 $y=x^2$ 和直线 $y=1$ 围成的封闭区域。

答：投影区域是指将一个几何体（如线段、平面等）沿着某个方向投影到另一个几何体上所得到的区域。在数学中，投影区域常用于计算几何形体之间的相交关系和距离等问题。例如，在计算机图形学中，可以使用投影区域来确定一个物体是否被遮挡、如何进行光照计算、以及如何生成阴影效果等。

问：能写下过程吗

问：就是这道题具体是怎么算的

答：1. 分析曲面交线：从方程 x² + y² = z 可以看出，这是一个关于 z 轴对称的旋转曲面，其截面为圆形。当 z=0 时，该曲面在 xoy 平面上交线为点 (0,0,0)。 2. 分析投影区域：根据题目描述，该立体在 xoy 平面的投影区域受三个平面限制，分别为 y=x²、y=1 和 z=0。其中 y=1 和 z=0 两个平面在 xoy 平面上的投影分别为整个平面和原点，因此只需考虑 y=x² 这个平面对投影区域的限制。 3. 将 y=x² 代入曲面方程，得到 x² + x⁴ = z，即在 y=x² 平面上，曲面由抛物线 y=x² 和与之垂直的旋转曲面相交而成。在 xoy 平面上，该曲面的投影区域为 y=x² 的平面图形与 y=1 和 z=0 在内部的部分。 4. 根据 y=x² 平面图形的几何特征，可知其为开口向上的抛物线段。将 y=1 和 z=0 代入曲面方程，可以发现它们都落在该抛物线上方，因此投影区域的下边界为 y=x² 曲线，在该曲线内部的部分为投影区域。 5. 综上所述，该立体在 xoy 平面的投影区域为一个被 y=x² 曲线所限制的区域，即开口向上的抛物线段。

问：所以结果的投影区域是多少呢？

答：该立体在 xoy 平面上的投影区域的面积为 $\frac{4}{3}$。