Question

5、设U,W是线性空间V的两个子空间，且U∈W。证明:若R是U的 补空间，即V= UφR,则W=Uφ (R∩W)。

Answer 1

问：5、设U,W是线性空间V的两个子空间，且U∈W。证明:若R是U的 补空间，即V= UφR,则W= Uφ (R∩W)。

答：为了证明W=U⊕(R∩W)，需要证明两个方向：1. W⊆U⊕(R∩W)对于任意的向量w∈W，根据U∈W，可以将w分解为两个向量：一个属于U，另一个属于U的补空间R，即w=u+r，其中u∈U，r∈R。因为U⊆W，所以w=u+r∈W。又因为R是U的补空间，所以u∈U，r∈R，则u和r在V中线性无关。所以，我们只需要证明r∈R∩W，即证明r同时属于R和W。因为w∈W，而u∈U∈W，所以r=w−u∈W。因为w∈W，所以w∈U∪R。因为u∈U⊆R，则w∈R∪R=R。所以w∈R，因此r=w−u∈R∩W。因此，w=u+r∈U+(R∩W)，即w∈U⊕(R∩W)。2. U⊕(R∩W)⊆W对于任意的向量v∈U⊕(R∩W)，v可以唯一地分解为v=u+r，其中u∈U，r∈R∩W。因为U⊆W，所以u∈W，因为R是U的补空间，所以r∈R，而R∩W⊆W，因此r∈W。因此，u和r都属于W，所以v=u+r∈W。综上所述，W=U⊕(R∩W)成立。

问：可以用基底法证明嘛

问：这个是为什么呢

答：可以用基底法证明的亲

答：这个你问我为什么我真不知道怎么解释

答：

答：反正可以说就是这样，但是你要说为什么这样可能只有第一个把这些弄会的人知道

问：啊这

答：

答：有些东西你要问为什么这样可能世界上没几个人知道的，只有最初的时候研究出来这些东西的人才知道

答：或者现在可能会有一些研究过这类问题的教授知道

答：这是当初那些学家研究出来之后的成果，我们学的就是其成果，而不知道是怎么来的，除了一些某个知识上的各类方法才会去学