Question

如果A是一个nxn的实数矩阵,D是一个nxn的对角矩阵,有一个正交矩阵Q,使得Q^T*A-D*Q^T=R为一上三角矩阵

Answer 1

问：如果A是一个nxn的实数矩阵,D是一个nxn的对角矩阵,有一个正交矩阵Q,使得Q^T*A-D*Q^T=R为一上三角矩阵

问：好的，谢谢

答：好的，这是一个比较复杂的问题，需要一步一步地解释。首先，我们知道一个矩阵是正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵等于它的逆矩阵。也就是说，如果Q是一个正交矩阵，那么Q^T*Q=Q*Q^T=I，其中I是单位矩阵。接下来，我们考虑如何将矩阵A转化为上三角矩阵。我们可以使用高斯消元法来实现这个目标。具体来说，我们可以对A进行一系列的初等行变换，使得它变成上三角矩阵。这个过程可以表示为A=LU，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。现在，我们可以将上面两个步骤结合起来，得到Q^T*A=Q^T*LU=U。这个矩阵U是一个上三角矩阵，但是它并不是对角矩阵。为了将它变成对角矩阵，我们可以使用相似矩阵的性质，即如果A和B是相似矩阵，那么它们有相同的特征值。因此，我们可以找到一个对角矩阵D，使得D的对角线上的元素是U的特征值。这个过程可以表示为U=VDV^T，其中V是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵。现在，我们可以将上面的两个步骤结合起来，得到Q^T*A=U=VDV^T，或者A=QVDQ^T。这个矩阵QVDQ^T是一个相似于A的对角矩阵，但是它并不是上三角矩阵。为了将它变成上三角矩阵，我们可以使用初

答：等列变换，将它变成R=Q^T*A-DQ^T。这个矩阵R是一个上三角矩阵，同时它也满足Q^T*A=DQ^T+R。因此，我们得到了一个正交矩阵Q，一个对角矩阵D，和一个上三角矩阵R，使得Q^T*A=DQ^T+R。

问：我先看一下。

答：好的

问：为什么Q^T*LU=U?

问：1. Q^TA = U这一步为什么Q^TL = I?2.Q^TA = U = QVDV^T吧应该？3.如果Q^TA = QVDV^T为什么这个是相似于A的对角矩阵？

答：在Q^TA=U的过程中，Q^TL=I是不成立的。正确的过程应该是：1. 对矩阵A进行高斯消元，得到A=LU，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。2. 构造正交矩阵Q，使得Q^TQ=QQ^T=I。这里可以使用Givens旋转或Householder变换等方法。3. 将A转化为上三角矩阵U，即Q^TA=U=Q^TLU。这里L是一个下三角矩阵，满足L=Q^TQ，因此L的逆矩阵是Q。4. 对U进行相似变换，得到U=VDV^T，其中V是正交矩阵，D是对角矩阵，且D的对角线上的元素是U的特征值。5. 将相似变换代入Q^TA=U中，得到Q^TA=VDV^T。这个矩阵是相似于A的对角矩阵，因为它们有相同的特征值。对于您的第二个问题，Q^TA=QVDV^T确实不是相似于A的对角矩阵，因为它的形式并不是对角矩阵。相似矩阵的定义是，如果A和B是相似矩阵，那么它们有相同的特征值。因此，我们需要将Q^TA转化为对角矩阵才能说它是相似于A的。这个转化过程是通过相似变换来实现的，即U=VDV^T。

问：如果Q^TL 不等于I， Q^TLU为什么等于U？ L = Q^TQ，Q是正交矩阵，您的意思是L = I, LU = IU = U = A,L几乎不可能满足您的条件?

问：我那个作业还得把怎么求出来这个R和Q写出来。

答：好的

答：您的理解是正确的，如果Q^TL不等于I，那么Q^TLU就不等于U。实际上，L=Q^TQ并不一定等于I，除非Q是单位正交矩阵。在一般情况下，L是一个非对角矩阵，且其对角线上的元素不一定都是1。因此，我的回答是错误的，感谢您的指正。