Question

设f(x)=10X^3-3X-2,计算差商f[2^0,2^1,L,2^3]=

Answer 1

问：设f(x)=10X^3-3X-2,计算差商f[2^0,2^1,L,2^3]=

答：首先，根据差商的定义： f[x0,x1]= (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) 我们可以计算出以下的差商： f[2^0,2^1] = (f(2^1)-f(2^0))/(2^1-2^0) = (10×2^3-3×2^1-2 - (10×2^0-3×2^0-2))/(2^1-2^0) = (80-6-2-8+3)/(2-1) = 67 f[2^1,2^2] = (f(2^2)-f(2^1))/(2^2-2^1) = (10×2^3-3×2^2-2 - (10×2^1-3×2^1-2))/(2^2-2^1) = (80-12-2-20+9)/(4-2) = 27 f[2^2,2^3] = (f(2^3)-f(2^2))/(2^3-2^2) = (10×2^3-3×2^3-2 - (10×2^2-3×2^2-2))/(2^3-2^2) = (80-24-2-40+18)/(8-4)

答：= (80-24-2-40+18)/(8-4) = 11/2 现在我们要计算的是 f[2^0,2^1,2^2,2^3]。 根据差商的递归定义，有： f[x0,x1,x2,...,xn] = (f[x1,x2,...,xn]-f[x0,x1,x2,...,n-1])/(xn-x0) 因此， f[2^0,2^1,2^2,2^3] = (f[2^1,2^2,2^3]-f[2^0,2^1,2^2])/(2^3-2^0) = ((f[2^2,2^3]-f[2^1,2^2])/(2^3-2^1) - (f[2^1,2^2]-f[2^0,2^1])/(2^2-2^0))/(2^3-2^0) = ((11/2-27)/(8-4) - (27-67)/(4-1))/7 = -43/56 因此，f[2^0,2^1,2^2,2^3]=-43/56。