Question

已知数列an的前n项和为Sn,若Sn/n为等差数列,an是等差数列吗

Answer 1

问：已知数列an的前n项和为Sn,若Sn/n为等差数列,an是等差数列吗

答：您好！依据题意，已知数列 a_na n​ 的前 nn 项和为 S_nS n​ ，若 \frac{S_n}{n} nS n​ ​ 为等差数列，则需要判断 a_na n​ 是否为等差数列。答案是不一定。虽然 \frac{S_n}{n} nS n​ ​ 是等差数列，但是仅仅能说明这个数列的平均增量是相同的，并不能说明每一项之间的差值是相同的，也就是说，数列 a_na n​ 中每一项之间的差值可以不相同。比如，对于数列 1, 3, 5, 7, 9, 111,3,5,7,9,11，其前 nn 项和为 S_n= n^2S n​ =n 2 ，而 \frac{S_n}{n} = n nS n​ ​ =n 是等差数列，但是 a_na n​ 明显不是等差数列。所以，只有当数列 a_na n​ 内部每一项之间的差值相同时，才能保证数列 a_na n​ 是等差数列。

答：依据等差数列的定义可知，如果一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。等差数列的通项公式为 a_n = a_1 + (n-1)da n​ =a 1​ +(n−1)d，其中 a_1a 1​ 为首项，dd 为公差。如果在已知前 nn 项和的情况下，要判断数列是否为等差数列，需要先求出数列的通项公式，然后判断公差是否相同即可。