Question

把边长为二倍根号二的正方形Abcd沿对角线BD折起，使得平面abd与平面CBD所成的2倍角大小为60度，则异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

Answer 1

问：把边长为二倍根号二的正方形Abcd沿对角线BD折起，使得平面abd与平面CBD所成的2倍角大小为60度，则异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

答：要求异面直线AD与BC所成的角的余弦值，可以利用余弦定理。首先，我们可以计算出边长为二倍根号二的正方形Abcd的对角线BD的长度。正方形的边长为a，对角线的长度为d。根据勾股定理，我们知道正方形的对角线的长度等于边长的开平方再乘以根号二，即d = a√2。根据题目要求，将平面abcd沿对角线BD折起，形成平面abd与平面CBD的夹角为60度。这意味着∠abD = 60度。接下来，我们求解平面ABD的夹角∠aBD。根据余弦定理：cos(∠aBD) = (AB² + BD² - AD²) / (2AB * BD)。正方形的边长为a，而BD的长度为a√2。根据平面几何的性质，我们可以计算出AB的长度为a，AD的长度为2a。代入上述余弦定理的公式，可以得到：cos(∠aBD) = (a² + (a√2)² - (2a)²) / (2a * a√2) = (a² + 2a² - 4a²) / (2a * a√2) = (-a²) / (2a * a√2) = -1 / (√2 * 2√2) = -1 / (2 * 2) = -1 / 4 = -0.25因此，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为-0.25。