Question

设a是n阶可逆矩阵A属于特征值1的特征向量,则a也是矩阵(½A²)－1(负一在右上角)属于特征值()的特征向量

Answer 1

问：设a是n阶可逆矩阵A属于特征值1的特征向量,则a也是矩阵(½A²)－1(负一在右上角)属于特征值()的特征向量

答：您好～设矩阵A的特征值1对应的特征向量是a，即Aa = a。我们要证明a也是矩阵(½A²)-1的特征向量，即(½A²)-1a = λa，其中λ为特征值。首先，计算矩阵(½A²)-1：(½A²)-1 = (½(AA))-1 = (½A)-1(A)-1 = 2A⁻¹(A⁻¹)-1 = 2A⁻¹A = 2I，其中I为n阶单位矩阵。将(½A²)-1代入特征向量方程，得到：(½A²)-1a = 2Ia = 2a可以看出，对于任意非零向量a，都有(½A²)-1a = 2a。因此，特征值为空，a也是矩阵(½A²)-1的特征向量。