Question

已知，f(1)=f（2）=1，f（n+2）＝f（n+1）+f（n），n＝1，2…，an表示f（n）的个位数码，求证0.a1a2…an…是有理数

Answer 1

问：已知，f(1)=f（2）=1，f（n+2）＝f（n+1）+f（n），n＝1，2…，an表示f（n）的个位数码，求证0.a1a2…an…是有理数

答：假设数列 {f(n)} 的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...我们可以观察到，数列中每一项都是通过前两项相加得到的。现在我们来研究数列 {a_n}，即将每一项的个位数取出来得到的数列。同样地，我们可以观察到数列 {a_n} 的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, ...注意到这里有一个循环出现：3, 1, 4, 5, 9。这是因为我们取的是每一项的个位数，所以这个循环会出现。现在，我们来证明数列 {a_n} 是有界的。我们知道，在个位数取值范围内，任意两个数之和不会超过 18。所以，当 n 足够大时，对于数列 {f(n)} 中的每一项，它的个位数 a_n 的值将在 0 到 9 之间循环。换句话说，对于任意整数 k，存在正整数 N，使得当 n 大于等于 N 时，a_n = a_{n+k}。既然数列 {a_n} 是有界的且具有循环性质，那么它实际上是一个循环小数。一个循环小数可以表示为有理数。所以我们得出结论，0.a_1a_2...a_n... 是一个有理数。因此，我们证明了 0.a_1a_2...a_n... 是一个有理数。

问：老师，可以再简单讲下吗？没看懂

答：可以的哦亲亲

答：亲亲，差不多是这样，首先,题目中给出了一个数列 {f(n)} 的定义，并且要求我们研究这个数列对应的数列 {a_n} 的性质。其中 {a_n} 表示数列 {f(n)} 中每一项的个位数。接着，我们观察到数列 {f(n)} 是由前两项相加得到后一项的规律。例如，前两项是 1 和 1，相加得到第三项 2；再将第二项和第三项相加得到第四项 3，依此类推。然后，我们取出每一项的个位数，得到数列 {a_n}。例如，数列 {f(n)} 中的第一项是 1，它的个位数也是 1；数列 {f(n)} 中的第二项是 1，它的个位数还是 1；数列 {f(n)} 中的第三项是 2，它的个位数是 2，以此类推。接下来，我们注意到数列 {a_n} 中会出现循环。具体来说，在个位数取值范围内，任意两个数之和不会超过 18，因此当数列 {f(n)} 中的项数 n 足够大时，对应的数列 {a_n} 的值将在 0 到 9 之间循环。这就是为什么数列 {a_n} 在题目中出现了一个循环序列。最后，我们知道循环小数可以表示为有理数。由于数列 {a_n} 是一个有界的循环序列，我们可以得出结论：0.a_1a_2...a_n... 是一个有理数。所以，通过以上的分析和推理，我们证明了 0.a_1a_2...a_n... 是一个有理数。

问：明白啦，谢谢老师

答：哈哈

答：好的

问：这道题怎么做呢

答：您可以打字给我吗，图片我这里貌似看不了啊