Question

已知数列$\{ a _ { n } \}$满足$a _ { 1 } = 2 , a _ { 2 }= \frac { 4 } {

Answer 1

问：已知数列$\{ a _ { n } \}$满足$a _ { 1 } = 2 , a _ { 2 } = \frac { 4 } {

答：解答：由题意可知，数列$\{ a _ { n } \}$满足递推关系式：$a _ { n + 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( a _ { n } + \frac { 8 } { a _ { n } } )$设$a _ { n } = x$，则有：$x ^ { 2 } - 2 x - 8 = 0$解得：$x _ { 1 } = 4 , x _ { 2 } = - 2$由$a _ { 1 } = 2$可知，$a _ { n } = 4$，即$a _ { n } = 4 , n \geqslant 1$。

问：已知数列$\{ a _ { n } \}$满足$a _ { 1 } = 2 , a _ { 2 } = \frac { 4 } { 5 } , a _ { n + 2 } = a _ { n } ^ { 2 } - 2 a _ { n + 1 } - 4$ .对$\forall n \in N ^ { * }$ ,求证：$① \mid a _ { n } \mid \le 4 , ② \mid \prod _ { k = 1 } ^ { n } a _ { 2 k } \mid \le \frac { 5 } { \sqrt { 1 1 } }$ .

答：解答：证明$① \mid a _ { n } \mid \le 4$设$A _ { n } = \mid a _ { n } \mid$ ,则有$A _ { 1 } = 2 , A _ { 2 } = \frac { 4 } { 5 }$

答：由递推公式可得$A _ { n + 2 } = A _ { n } ^ { 2 } - 2 A _ { n + 1 } - 4 \le A _ { n } ^ { 2 } - 2 A _ { n + 1 } \le A _ { n } ^ { 2 } - 2 A _ { n } = A _ { n } ( A _ { n } - 2 )$若$A _ { n } \le 2$ ,则$A _ { n + 2 } \le 0$ ,与$A _ { n } \ge 0$矛盾 ,故$A _ { n } \ge 2$又$A _ { n } \le A _ { n } ( A _ { n } - 2 ) \le 4$ ,即$A _ { n } \le 4$由数学归纳法可知$A _ { n } \le 4$ ,即$\mid a _ { n } \mid \le 4$证明$② \mid \prod _ { k = 1 } ^ { n } a _ { 2 k } \mid \le \frac { 5 } { \sqrt { 1 1 } }$

答：数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

问：解答有点问题，数列不是单调数列不能直接放缩，证明出错了

答：你说

答：你这个问题难度有点高

问：$A _ { n } = \mid a _ { n } \mid$如何是单调数列？

答：如果$a_n$是单调数列，那么$A_n$也是单调数列，因为$A_n$只是$a_n$的绝对值。

问：明显不是

答：怎么不是？

答：考虑这两个情况：1. 递增数列：如果对于任意的 $n$，都有 $A_{n+1} \geq A_n$，那么数列 $A_n$ 是递增数列。

答：2. 递减数列：如果对于任意的 $n$，都有 $A_{n+1} \leq A_n$，那么数列 $A_n$ 是递减数列。