Question

讨论反常积分的敛散性

Answer 1

问：讨论反常积分的敛散性

问：是这道题的2.3问

答：亲亲，很高兴为您解答哦:对于反常积分，我们需要分别讨论在区间端点处的发散和无qiong远处的发散，然后确定它们的敛散性。对于区间端点处的发散，函数在该点的极限存在或者可以通过增加或减少函数的值来使其收敛，则称为可去发散，此时反常积分是收敛的。极限不存在，但是函数在该点的振荡幅度有上下界，称为振荡发散，此时需要通过极限判别法来确定反常积分的敛散性。函数在该点趋近于正无qiong或负无qiong，称为本性发散，此时反常积分是发散的。对于无qiong远处的发散，我们需要将积分转化为一个定积分，并在有限区间内进行计算。随着有限区间的扩大，积分的值趋向于有限数，则反常积分是收敛的。否则，反常积分是发散的。需要注意的是，在判断反常积分的敛散性时，必须先对原函数进行分析，确定函数的特点和定义域，然后再进行分类讨论。同时，也需要注意使用正确的判别方法，以确保结果的正确性。

答：亲亲，图片已收到，图片扫描不出来麻烦转发成文字哦

问：讨论［0,1］上的分段函数f(x)={0，x∈Q sinx，x∈Qc的可积性，其中Q和Qc分别表f(x)={ix示有理数和无理数的全体。

答：亲亲，首先，我们需要确定该函数在[0,1]上的定义：当x为有理数时，f(x)=0；当x为无理数时，f(x)=sinx。接下来，我们需要证明这个分段函数在[0,1]上是可积的。根据黎曼积分的定义，一个函数在[0,1]上是可积的，当且仅当它的上积分和下积分相等。我们先来计算下积分：对于任意的划分P={0=x00，找到一个划分P和取样点ξ，使得U(f,P,ξ)-L(f,P,ξ) < ε由于无理数和有理数的集合都是稠密的，我们可以通过细分划分P来使得U(f,P,ξ)-L(f,P,ξ)足够小，从而证明该分段函数是可积的。总之，在[0,1]上，f(x)={ 0，x∈Q sinx，x∈Qc }是一个可积的分段函数。

问：设函数f(x)在【1，+∞】连续可导，f(1)=1且当x≥1时有f’(x)=1/x2+f2(x)，证明f(x)在【1，+∞】有界

答：亲亲，根据题意，我们需要证明函数f(x)在【1，+∞】上有界。首先从导数入手，有：f'(x) = 1/x^2 + f^2(x) >= 0因此f(x)在【1，+∞】上单调递增。又因为f(1)=1，所以f(x)>0。接下来考虑函数的积分：f(x) = f(1) + ∫[1, x]f'(t)dtf(x) = 1 + ∫[1, x](1/t^2 + f^2(t))dtf(x) >= 1 + ∫[1, x](1/t^2)dtf(x) >= 1 - 1/x因此，f(x)在【1，+∞】上有下界1-1/x，即有界。综上，我们证明了函数f(x)在【1，+∞】上有界。