Question

求微分方程（y-2）y'=x的2次方+3x+2满足初始条件y（1）=4的特解

Answer 1

问：求微分方程（y-2）y'=x的2次方+3x+2满足初始条件y（1）=4的特解

答：亲爱的，首先，这个微分方程的一般形式为： dy/dx = (y-2)y^(2/2) + 3y + 2 我们可以将初始条件 y(1) = 4 代入方程，得到 4y(1) = 4，然后两边对 x 求积分，得到 4y(1) = 4 ∫ dx。积分的结果是：4 = ∫ [x dx]，所以原方程的通解为：y(x) = C1 * x + C2 * x^2。 现在我们要求特解。由于我们已知 y(1) = 4，所以我们只需要求出对应的特解 y^(1/2) = 4 * (1/2) = 2。将其代入方程，得到 y(2) = 2y^(1/2) + 3y + 2。两边对 x 求积分，我们得到：y(2) = 2 ∫ dx，因此：y(2) = 2 + 2 * (1/2) + 3 + 2 * (-1/2) ≈ 2.5。 所以，这个微分方程 y-2)y'=x^2+3x+2 的初始条件为 y(1) = 4 的特解为 y(2) ≈ 2.5。

答：亲爱的特解（特殊解）是指满足特定条件的解。对于一个给定的微分方程，我们通常希望找到一个满足初始条件、边界条件或特定性质的解，这个解就是微分方程的特解。在实际问题中，特解可能是唯一的，也可能是多个。在求解微分方程时，我们通常会先求出一个或多个特解，然后再将其与通解（一般解）相结合，得到整个微分方程的解。通解是满足微分方程所有条件的解，而特解则是满足特定条件的解。例如，对于常系数线性微分方程：dy/dx + P(x)y' + Q(x)y = 0，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知的线性无关的函数，我们可以求出这个方程的一个特解为 y(x) = C1 * e^(-x) + C2 * e^x。将这个特解代入原方程，我们可以得到通解：y(x) = C1 * e^(-x) + C2 * e^x + (P(x) * e^(-x) + Q(x)) / e^(x)。在实际应用中，我们需要根据具体问题的条件来求出特解，例如边界条件、初始条件等。