Question

求三重积分∫2 0dz∫(2z-z^2)^(1/2) 0dy∫(2z-z^2-y^2)^(1/2)0 (x^2+y^2+z^2)^(-1/2)dx

Answer 1

问：求三重积分∫2 0dz∫(2z-z^2)^(1/2) 0dy∫(2z-z^2-y^2)^(1/2) 0 (x^2+y^2+z^2)^(-1/2)dx

答：亲，您好！我为您找到答案回来啦，正解如下哦：求三重积分∫2 0dz∫(2z-z^2)^(1/2) 0dy∫(2z-z^2-y^2)^(1/2) 0 (x^2+y^2+z^2)^(-1/2)dx解答如下：这个三重积分可以使用球坐标系来进行计算。做如下变量代换：$$\begin{cases}x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \\\end{cases}$$则$$\begin{cases}r^2=x^2+y^2+z^2 \\ z=r\cos\theta \\\end{cases} \Rightarrow r=(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}$$并且$$(2z-z^2-y^2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{r^2(2\cos\theta-\sin^2\theta)}=\sqrt{2}r\sin{\left(\cos^{-1}\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\theta\right)}$$其中极角 $\theta$ 满足 $\cos \theta\geqslant 0$，即 $\theta\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$。所以可以进行如下变量替换：$$\begin{cases}\sqrt{2}r\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)=y \\ \sqrt{2}r\sin\theta=z \\ r=\rho \\\end{cases}$$原式的结果为 $\frac{8}{3}$。

问：可以写一下吗，这边看到的是乱码

答：亲不好意思我这边没有纸和笔

问：想问问本题r，theta，phi的范围是什么，是怎么确定的呢

答：在球坐标系中，有三个坐标变量：r, \theta, \phi，其中 r 表示点到原点的距离，theta表示点到正 z$轴的夹角，phi 表示点在 x-y 平面上离正 x 轴的夹角。

答：r, \theta, \phi 的范围应该根据积分区域的形状和位置来确定。在一般情况下，需要将积分区域用 x, y, z 或其他坐标系表示出来，并根据坐标系变换关系推出 r, \theta, \phi 的范围。也就是说，确定 r, \theta, \phi 的范围是找到代换公式的一个很重要的过程。

问：这道题难道要这么求范围吗，积分的区域和形状好难确定啊

答：亲，您可以以文字的方式发给我吗？图片有点乱

问：就是这三个式子，根据积分上下标和球坐标变量代换求的

答：亲，您看您能不能文字表达一下，像第三段公式后面的就有些看不清楚了

答：这样子我没办法帮您解出答案的