Question

贝叶斯定理

Answer 1

一、导语
设想一下：
今天你是一只猫，你晚上要考虑去不去抓老鼠。一般你成功的概率也就是50%，但是这个时候你知道了有一个捕鼠高手，汤姆猫；它基本一逮一个准，如果他一出现，他抓到老鼠的概率为90%。而如果他不出现的话，你抓到老鼠的概率也奇怪的提升了20%变成了70%！这个抓老鼠的例子就是贝叶斯定理。
二、正文
（1）贝叶斯定理（Bayes Rule）是一个基于条件概率的公式，用于计算在已知某些信息下，另外一些信息的概率。它被广泛应用于统计学、概率论、人工智能、机器学习、自然语言处理等领域中。在实际应用中，贝叶斯定理经常用来解决分类和预测问题，例如，判断一封电子邮件是否为垃圾邮件、预测某一个人患癌症的概率等等。贝叶斯定理的优点是能够处理不确定性和不完整信息，并且能够逐步更新概率值，因此能够很好地应对实际问题。
（2）贝叶斯定理的数学公式如下：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中，P(A|B) 表示在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率；P(B|A) 表示在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率；P(A) 表示事件 A 发生的先验概率；P(B) 表示事件 B 发生的概率，也叫做证据。
贝叶斯定理的计算过程是基于条件概率的，它的核心思想是用已知的信息来推断未知的信息。这种方法在实际应用中非常有用，因为很多情况下我们只能得到部分信息，而贝叶斯定理可以利用这些信息来做出预测和决策。
（3）贝叶斯公式的生活应用
生活中有很多可以用到贝叶斯定理的例子，我们举一个比较和生活贴近的
假设你感觉自己身体不舒服，去药店买了个核酸测一测。假设测试结果显示你阳了，有 90%的准确率。但是，新冠流感在整个人群中的患病率很小，仅仅为为5%。那么，如果测试结果为阳性，那么你真正感染流感的概率是多少？
我们可以运用贝叶斯定理来计算。首先，P(A) 表示你在整个人群中患病的概率，即5%。P(B|A) 表示你得到阳性测试结果的条件下真正感染流感的概率，即90%。P(B) 表示得到阳性测试结果的概率，可以通过患病率和准确率相乘得到，即P(B) = P(B|A)xP(A) + P(B|not A) * P(not A) = 90%x5% +10%x95% = 9.5%。根据贝叶斯定理，我们可以计算出感染流感的概率：
P(A|B) = P(B|A)xP(A)/P(B) =90%x5%/9.5% ≈ 47.4%
也就是说，即使你的抗原结果真的显示了两道杠，但是按照5%的概率算的话，你真正感染流感的概率也只有 47.4%。
三、拓展
在拓展方面，贝叶斯定理可以应用于更复杂的数据分析场景，例如：贝叶斯线性回归，简单点来说就是算法学习会认识自己的错误，就像我这种四肢僵硬的人第一次去舞蹈班，老师跟我说一步一步来，我还是自己一步一步跳到了第二天下午四点钟。那么问题出在我不会自己认识错误，贝叶斯线性回归就像一个反应神速的老师，会不断观察我这个初学者，然后及时纠正并且精确制导我的舞步，从而让我僵尸般的身体亮洁如新。
还有个拓展就是贝叶斯网络，指的是一个网络上的每个要素都可以自由交换信息以推算出更准确的可能性。就像现在读到我文章的读者们集体在微信群里讨论今天中午吃什么，大家互相提供信息，然后做出大家都非常满意的决定，而贝叶斯网络就是用这种方式来推理和决策的。

四、启示
我们在生活中会有很多犯下的错误，我们虽然不能回到过去把遗憾和错误，但是我们或许可以用贝叶斯公式来总结错误，让我们下次别做错事。如果我们将错误看作是一个事件，那么我们可以用贝叶斯定理来对这个错误进行总结和分析。具体来说，我们可以将错误的原因看做先验概率，并结合新的观测数据（比如来自老师或同学的建议、上网搜索的其他人的经验），计算出后验概率，进而对错误进行总结和分析。
例如笔者分手了，笔者可以将这个错误看作一个先验事件，假设他分手是因为他缺乏谈恋爱的相关经验，然后他就可以通过阅读相关的恋爱经历，或者跟他的好朋友的讨论以后验出后验概率，即你已经掌握了你为什么分手的概率与原因。如果你已经掌握了分手的原因，那么这个错误的概率就会降低，反之，则需要继续了解你为什么分手，降低这个错误的概率。
同样的方法也适用于其他类型的错误，只需要找到错误的原因和观测数据，就可以通过贝叶斯定理对错误进行总结和分析，从而更好地提高做事的效果。