怎么求这个定积分,要详细的步骤
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# 方法一:换元法
令 $u = -x^2$,则 $\frac{du}{dx} = -2x$,从而 $dx = (-\frac{1}{2})\frac{du}{x}$。
当 $x = 1$ 时,$u = -1$,当 $x = 2$ 时,$u = -4$。
因此原积分可以写成:$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = \int_{-4}^{-1} (-\frac{1}{2})e^{u} du$
对右侧积分进行简单的计算和化简:$\int_{-4}^{-1} (-\frac{1}{2})e^{u} du = [-\frac{1}{2} * e^{u}]_{-4}^{-1} = (-\frac{1}{2}) * (e^{-4} - e^{-1})$
因此,原积分的值为:$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = (-\frac{1}{2}) * (e^{-4} - e^{-1})$
# 方法二:分部积分法
将被积函数 $x(e^{-x^2})$ 分解成两个部分:$u = x,dv = e^{-x^2}dx$
则 $\frac{du}{dx} = 1,v = (-\frac{1}{2})e^{-x^2}$。
应用分部积分公式得:$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = [-\frac{1}{2} * x * e^{-x^2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} (-\frac{1}{2} * e^{-x^2}) dx$
计算得:$[-\frac{1}{2} * x * e^{-x^2}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{2} * 2 * e^{-4}] - [-\frac{1}{2} * 1 * e^{-1}] = (-\frac{1}{2}) * (e^{-4} - e^{-1})$
$\int_{1}^{2} (-\frac{1}{2} * e^{-x^2}) dx = [\frac{1}{2} * e^{-x^2}]_{1}^{2} = [\frac{1}{2} * e^{-4}] - [\frac{1}{2} * e^{-1}] = (\frac{1}{2}) * (e^{-1} - e^{-4})$
因此,原积分的值为:$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = (-\frac{1}{2}) * (e^{-4} - e^{-1}) + (\frac{1}{2}) * (e^{-1} - e^{-4}) = (-\frac{1}{2}) * e^{-4} + (\frac{1}{2}) * e^{-1}$
以上是两种求解该积分的方法,希望对您有所帮助。
咨询记录 · 回答于2024-01-05
怎么求这个定积分,要详细的步骤
您好,为了能详细地解答您的问题,我需要知道您所求的定积分是什么。请提供被积函数以及积分区间,这芦碧样我才能给出更准陪握举确皮唤和详细的解答。
这个符号最好能手写,方便看
# 方法一:换元法
令 $u = -x^2$,则 $du/dx = -2x$,从而 $dx = (-1/2)du/x$。
当 $x = 1$ 时,$u = -1$,当 $x = 2$ 时,$u = -4$。
因此原积分磨帆可以写成:$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = \int_{-4}^{-1} (-1/2)e^{u} du$
对右侧积分进行简单的计算和化简:$\int_{-4}^{-1} (-1/2)e^{u} du = [-1/2 * e^u]_{-4}^{-1} = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1})$
因此,原液游拦积分的值为:闹胡$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1})$
# 方法二:分部积分法
将被积函数 $x(e^{-x^2})$ 分解成两个部分:$u = x$,$dv = e^{-x^2}dx$
则 $du/dx = 1$,$v = (-1/2)e^{-x^2}$。
应用分部积分公式得:$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = [-1/2 * x * e^{-x^2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} (-1/2 * e^{-x^2}) dx$
计算得:$[-1/2 * x * e^{-x^2}]_{1}^{2} = [-1/2 * 2 * e^{-4}] - [-1/2 * 1 * e^{-1}] = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1})$
$\int_{1}^{2} (-1/2 * e^{-x^2}) dx = [1/2 * e^{-x^2}]_{1}^{2} = [1/2 * e^{-4}] - [1/2 * e^{-1}] = (1/2) * (e^{-1} - e^{-4})$
因此,原积分的值为:$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1}) + (1/2) * (e^{-1} - e^{-4}) = (-1/2) * e^{-4} + (1/2) * e^{-1}$
以上是两种求解该积分的方法,希望对您有所帮助。不好意思哈,这边答主旁边没有纸和笔。
这一步是怎么来的
对于这一步的计算,我们需要将被积函数 -1/2 * e^(-x^2) 再次进行分部积分。
令 u = x,dv = -e^(-x^2)dx,则 du/dx = 1,v = (1/2)e^(-x^2),
根据分部积分公式:∫(-1)^(-4) (-1/2)e^(-x^2) dx = [-1/2 * x * e^(-x^2)]"#(-1)^(-4) + ∫(-1)^(-4) (1/2 * e^(-x^2)) dx
在积分区间 [1, 2] 上计算得:态亩
[-1/2 * x * e^(-x^2)]"#1^2 = [-1/2 * 2 * e^(-4)] - [-1/2 * 1 * e^(-1)] = (-1/2) * (e^(-4) - e^(-1))
∫1^2 (1/2 * e^(-x^2)) dx = [1/2 * e^(-x^2)]"#1^2 = [1/2 * e^(-4)] - [1/2 * e^(-1)] = (1/2) * (e^(-1) - e^(-4))
将两个结果相加,即可得到原定积分的值:
∫1^2 x(e^(-x^2)) dx = (-1/2) * (e^(-4) - e^(-1)) + (1/2) * (e^(-1) - e^(-4)) = (-1/2) * e^(-4) + (1/2) * e^(-1)
抱歉之前的回答中有您仔缺看不懂的地方,希望念闭辩这次能够更好地解答您的疑问。