Question

怎么求这个定积分，要详细的步骤

Answer 1

问：怎么求这个定积分，要详细的步骤

答：您好，为了能详细地解答您的问题，我需要知道您所求的定积分是什么。请提供被积函数以及积分区间，这样我才能给出更准确和详细的解答。

问：这个符号最好能手写，方便看

答：# 方法一：换元法 令 $u = -x^2$，则 $du/dx = -2x$，从而 $dx = (-1/2)du/x$。 当 $x = 1$ 时，$u = -1$，当 $x = 2$ 时，$u = -4$。 因此原积分可以写成：$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = \int_{-4}^{-1} (-1/2)e^{u} du$ 对右侧积分进行简单的计算和化简：$\int_{-4}^{-1} (-1/2)e^{u} du = [-1/2 * e^u]_{-4}^{-1} = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1})$ 因此，原积分的值为：$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1})$ # 方法二：分部积分法 将被积函数 $x(e^{-x^2})$ 分解成两个部分：$u = x$，$dv = e^{-x^2}dx$ 则 $du/dx = 1$，$v = (-1/2)e^{-x^2}$。 应用分部积分公式得：$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = [-1/2 * x * e^{-x^2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} (-1/2 * e^{-x^2}) dx$ 计算得：$[-1/2 * x * e^{-x^2}]_{1}^{2} = [-1/2 * 2 * e^{-4}] - [-1/2 * 1 * e^{-1}] = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1})$ $\int_{1}^{2} (-1/2 * e^{-x^2}) dx = [1/2 * e^{-x^2}]_{1}^{2} = [1/2 * e^{-4}] - [1/2 * e^{-1}] = (1/2) * (e^{-1} - e^{-4})$ 因此，原积分的值为：$\int_{1}^{2} x(e^{-x^2}) dx = (-1/2) * (e^{-4} - e^{-1}) + (1/2) * (e^{-1} - e^{-4}) = (-1/2) * e^{-4} + (1/2) * e^{-1}$ 以上是两种求解该积分的方法，希望对您有所帮助。不好意思哈，这边答主旁边没有纸和笔。

问：这一步是怎么来的

答：对于这一步的计算，我们需要将被积函数 -1/2 * e^(-x^2) 再次进行分部积分。 令 u = x，dv = -e^(-x^2)dx，则 du/dx = 1，v = (1/2)e^(-x^2)， 根据分部积分公式：∫(-1)^(-4) (-1/2)e^(-x^2) dx = [-1/2 * x * e^(-x^2)]"#(-1)^(-4) + ∫(-1)^(-4) (1/2 * e^(-x^2)) dx 在积分区间 [1, 2] 上计算得： [-1/2 * x * e^(-x^2)]"#1^2 = [-1/2 * 2 * e^(-4)] - [-1/2 * 1 * e^(-1)] = (-1/2) * (e^(-4) - e^(-1)) ∫1^2 (1/2 * e^(-x^2)) dx = [1/2 * e^(-x^2)]"#1^2 = [1/2 * e^(-4)] - [1/2 * e^(-1)] = (1/2) * (e^(-1) - e^(-4)) 将两个结果相加，即可得到原定积分的值： ∫1^2 x(e^(-x^2)) dx = (-1/2) * (e^(-4) - e^(-1)) + (1/2) * (e^(-1) - e^(-4)) = (-1/2) * e^(-4) + (1/2) * e^(-1) 抱歉之前的回答中有您看不懂的地方，希望这次能够更好地解答您的疑问。