Question

在四边形ABCD中角B=角D等于90连接AD且BD平分角ABC,若AB+Bc=8,则四边形AB

Answer 1

问：在四边形ABCD中角B=角D等于90连接AD且BD平分角ABC,若AB+Bc=8,则四边形AB

答：亲亲,很高兴为您解答哦因为BD平分角ABC，所以角ABD=角CBD=1/2角ABC。由三角形ABD和BCD的正弦定理可得：$\frac{AD}{\sin\angleABD}=\frac{BD}{\sin\angleBAD}$$\frac{BC}{\sin\angleCBD}=\frac{BD}{\sin\angleBCD}$由于角ABD=角CBD，因此$\sin\angleABD=\sin\angleCBD$。将两个公式合并可得：$\frac{AD}{\sin\angleABD}+\frac{BC}{\sin\angleCBD}=\frac{BD}{\sin\angleBAD}+\frac{BD}{\sin\angleBCD}$因为角B=角D=90度，所以$\sin\angleABD=\sin\angleCBD=1$。代入上式得$AD+BC=BD(\cot\angleBAD+\cot\angleBCD)$由于$\angleBAD+\angleBCD=180^\circ$，所以$\cot\angleBCD=-\cot\angleBAD$。代入上式得$AD+BC=BD(\cot\angleBAD-\cot\angleBAD)=0$因此，$AD=-BC$。由于AB+BC=8，因此AB-AD=8。代入上式可得$BD\cot\angleBAD=4$因此，$BD=\frac{4}{\cot\angleBAD}$。将BD的值代入三角形ABD的正弦定理中可得$AD=\frac{4\sin\angleABD}{\sin\angleBAD}$。四边形ABCD的面积为$S=\frac{1}{2}(AB+CD)BD$因为AB-AD=8，所以CD=2AD=-2BC=-2(8-AB)=16-2AB。代入上式可得$S=\frac{1}{2}(AB+16-2AB)\cdot\frac{4}{\cot\angleBAD}$$S=2(8-\frac{AB}{\tan\angleBAD})$因此，四边形ABCD的面积为$S=16-8\tan\angleBAD$。

答：亲亲相关拓展：1.若AC平分角BCE，则四边形ABCD为平行四边形。证明：由角平分线定理可知，$\angleABC=\angleCBD$且$\angleACB=\angleECB$。因此，$\angleABD+\angleCDB=\angleABC+\angleCBD+\angleACD+\angleECB=180^\circ$，说明ABCD为平行四边2.若AC垂直平分BD，则四边形ABCD为菱形证明：由BD平分角ABC、AC垂直平分BD可知，$\angleBAC=\angleCBD=45^\circ$，且AC垂直于BD。因此，AB=BC，AD=DC，且四边形ABCD为菱形。3.若AB+BC+CD+DA=2p，则四边形ABCD为内切四边形。证明：由三角形ABD和BCD的余弦定理可得：$AB^2+BD^2-2AB\cdotBD\cos\angleABD=AD^2+BD^2-2AD\cdotBD\cos\angleCBD$$BC^2+BD^2-2BC\cdotBD\cos\angleBCD=CD^2+BD^2-2CD\cdotBD\cos\angleABD$将两个公式相加，整理得$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2+2BD^2=2(AB\cdotBC+BC\cdotCD+CD\cdotDA+DA\cdotAB)$因为ABCD为四边形，所以$AB+CD=BC+DA$，即$AB-DA=BC-CD$。因此，$AB\cdotBC+CD\cdotDA=(AB-DA)(BC+CD)=AB\cdotBC-DA\cdotBC+CD\cdotAB-CD\cdotDA$$=AB\cdotBC-CD\cdotDA$将上式代入原式可得$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2+2BD^2=2(AB\cdotBC-CD\cdotDA+CD\cdotDA)$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2+2BD^2=2(AB\cdotBC+CD\cdotDA)$因此，若AB+BC+CD+DA=2p，则上式左边等于$(AB+CD)^2+(BC+DA)^2+2BD^2$，右边等于$2(AB\cdotBC+CD\cdotDA)=2p^2$。因此，$ABCD$为内切四边形。