Question

由平面x=2,y=3,y=2-x及抛物面z=2x^2+3y^2+2所围成的立体的体积为

Answer 1

问：由平面x=2,y=3,y=2-x及抛物面z=2x^2+3y^2+2所围成的立体的体积为

答：亲，所以该体积为3.32呢！

答：首先，观察平面和抛物面的交点。将y=2-x代入抛物面方程，得到z=2x+3(2-x)²+2=13x-12x+16。因此，这个立体的截面是一个二次函数。为了求出立体的体积，我们可以用三维积分来表示:V= dV JV其中dV是三维空间中的体积元素。在直角坐标系中，dV=dxdydz。因此，我们需要找到该立体的X、y、z的积分限。由于平面和抛物面都在x=2平面上交于直线y=1，我们可以把该积分分成两部分，第一部分在平面上部分，第二部分在抛物面上。对于第一部分:-YV= ds= dzdxdy= S对于第二部分，抛物面上方最高点为(2,1,23)。因此，我们可以限制z的积分范围为2x+3y+2到23:V= dS = 2-X dzdyda 将两部分相加，得到所求的立体体积:V=V+V2= 1221√6-506 36