8.求微分方程+y^n-4y`+3y=xe^(-x)+的通解
1个回答
关注
![]()
展开全部
非常荣幸为您解答
：
：
8. 求微分方程+y^n-4y`+3y=xe^(-x)+的通解，
首先将微分方程化为标准形式：
y^n-4y'+3y=xe^{-x}
yn"4y′+3y=xe"xy^n"4y′+3y=xe"x
然后求齐次方程
y^n-4y'+3y=0
yn"4y′+3y=0
的通解。
设y=e^{mx}
y=emxy=emx，代入齐次方程得到：
m^n-4m+3=0
mn"4m+3=0
这是一个nn次代数方程，可以求出nn个不同的根
m_1,m_2,\cdots,m_nm1 ,m2 …mn m因此齐次方程的通解为：
y_h(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+\cdots+c_ne^{m_nx}
y_h(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}y_h(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}
于是，原方程的通解为：
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+\cdots+c_ne^{m_nx}+\frac{x}{n-3}e^{-x}
y=y_h(x)+y_p(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}+xn"3e"xy=y_h(x)+y_p(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}+xn"3e"xy是齐次方程的nn个不同的根。
咨询记录 · 回答于2023-12-23
8.求微分方程+y^n-4y`+3y=xe^(-x)+的通解
非常荣幸为您解答：
8. 求微分方程+y^n-4y`+3y=xe^(-x)+的通解，
首先将微分方程化为标准形式：
y^n-4y'+3y=xe^{-x}
yn"4y′+3y=xe"x
然后求齐次方程
y^n-4y'+3y=0
yn"4y′+3y=0
的通解。
设y=e^{mx}
y=emx，代入齐次方程得到：
m^n-4m+3=0
mn"4m+3=0
这是一个nn次代数方程，可以求出nn个不同的根
m_1,m_2,\cdots,m_n
m1 , m2 , …, mn
因此齐次方程的通解为：
y_h(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+\cdots+c_ne^{m_nx}
yh(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}
于是，原方程的通解为：
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+\cdots+c_ne^{m_nx}+\frac{x}{n-3}e^{-x}
y=yh(x)+yp(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}+\frac{x}{n"3}e"xy是齐次方程的nn个不同的根。
：
8. 求微分方程+y^n-4y`+3y=xe^(-x)+的通解，
首先将微分方程化为标准形式：
y^n-4y'+3y=xe^{-x}
yn"4y′+3y=xe"x
然后求齐次方程
y^n-4y'+3y=0
yn"4y′+3y=0
的通解。
设y=e^{mx}
y=emx，代入齐次方程得到：
m^n-4m+3=0
mn"4m+3=0
这是一个nn次代数方程，可以求出nn个不同的根
m_1,m_2,\cdots,m_n
m1 , m2 , …, mn
因此齐次方程的通解为：
y_h(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+\cdots+c_ne^{m_nx}
yh(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}
于是，原方程的通解为：
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+\cdots+c_ne^{m_nx}+\frac{x}{n-3}e^{-x}
y=yh(x)+yp(x)=c1 e^{m1 x}+c2 e^{m2 x}+…+cn e^{mn x}+\frac{x}{n"3}e"xy是齐次方程的nn个不同的根。
相关拓展：微分方程是数学中一个比较重要的概念，它是描述自然现象及各种现象数学模型的重要工具。微分方程是指一个含有未知函数及其导数的方程。微分方程除了常微分方程外，还包括偏微分方程和积分方程。
亲亲做试卷是需要升级服务的哦
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
