Question

4已知调和函数 u(x,y)=x^3-3xy^2-2x, 试求共共轭调和函数v(x,y),使得 f(z)=u+

Answer 1

问：4已知调和函数 u(x,y)=x^3-3xy^2-2x, 试求共共轭调和函数v(x,y),使得 f(z)=u+

答：i*v 是解析函数。我们可以通过直接计算得到 v(x,y) 的形式。 设 v(x,y) = a(x,y) + ib(x,y)，其中 a(x,y) 和 b(x,y) 是实数函数。根据 f(z) 的解析性，我们有 f'(z) = d/dz(u+iv) = 0。 即，u 的共轭调和函数 v 满足以下两个偏微分方程： 1. d/dx a(x,y) = d/dy b(x,y) 2. d/dy a(x,y) = -d/dx b(x,y) 可得到以下解： a(x,y) = (3x^2+2y) / 8 b(x,y) = (-3xy+2x) / 8 因此，v(x,y) = (3x^2+2y) / 8 + i(-3xy+2x) / 8。