Question

4.求函数+z=x^2-y^2+3x+3y-9+的极值点及极值.

Answer 1

问：4.求函数+z=x^2-y^2+3x+3y-9+的极值点及极值.

答：首先，我们对这个函数求偏导数。对x求偏导得到2x+3，对y求偏导得到-2y+3。令它们都等于0，解得x=-1.5，y=1.5。所以极值点为(-1.5, 1.5)。接下来，我们判断这个点的类型。可以通过二阶偏导数法来判断：f_{xx}(x,y) = 2f_{yy}(x,y) = -2f_{xy}(x,y) = 0因为f_{xx}(x,y) > 0 且 f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-[f_{xy}(x,y)]^2 > 0，所以这个点是一个极小值点。因此，函数z=x^2-y^2+3x+3y-9在点(-1.5, 1.5)处取得极小值，极小值为f(-1.5, 1.5) = (-1.5)^2 - (1.5)^2 + 3*(-1.5) + 3*(1.5) - 9 = -6。

答：同学您好，麻烦您吧题目以文字形式下发给老师

问：2.已知区域的面积等于16,则∫∫dxdy=

答：根据链式法则，可以得到：dz/dt = dz/du * du/dt + dz/dv * dv/dt首先求dz/du和du/dt：dz/du = v*u^(v-1)du/dt = 2e^(2t)*(-sin(t))然后求dz/dv和dv/dt：dz/dv = u^v * ln(u)dv/dt = -sin(t)将上述结果代入公式得：dz/dt = vu^(v-1) * 2e^(2t)(-sin(t)) + u^v * ln(u) * (-sin(t))将u和v的值带入，得到：dz/dt = cos(t) * e^(cost) * (2e^(2t) - 2coste^(2t)ln(e^2t))化简可得：dz/dt = 2e^(2t)cos(t)(e^(cost)-cost)

答：已知区域的面积等于16，但是没有具体给出该区域的形状和边界条件，因此不能准确计算∫∫dxdy。如果给出该区域的形状和边界条件，则可以通过对该区域进行二重积分来求解。例如，如果该区域为一个单位圆，边界条件为x^2 + y^2 <= 1，则有：∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ （极坐标变换） = ∫[0,1]∫[0,2π]rdrdθ = ∫[0,1]rdr * ∫[0,2π]dθ = 1/2* r^2|01 * θ|02π = 1/2 * 1^2 * 2π = π因此，当该区域为单位圆时，∫∫dxdy的值为π。