2. 设随机变量X服从正态分布,其概率密度为f(x) = ce-0.25(x2+2x+1),求c。
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由正态分布的概率密度函数有：
f(x) = 1/(σ√(2π))×e^(-(x-μ)^2/2σ^2)
其中，μ为均值，σ为标准差。
将题目中给出的概率密度函数进行化简，得到：
f(x) = c×e^(-0.25x^2-0.5x-0.25)
与正态分布的概率密度函数做比较，可以发现：
μ = -0.5/(-0.5×2) = 0.5
σ^2 = 1/(2×0.25) = 2
因此，c×∫e^(-0.25x^2-0.5x-0.25)dx = 1
对于这种形式的积分，一般需要通过配方法来求解。
即先将指数项里面的二次型部分写成完全平方形式，然后利用高斯积分公式来计算。
具体地，-0.25x^2-0.5x-0.25 = -0.25(x+1)^2 + 0.125
则有：∫e^(-0.25x^2-0.5x-0.25)dx = ∫e^-0.25(x+1)^2 × e^0.125 dx
令t = x+1，则dt = dx，代入上式可得：
∫e^-0.25(x+1)^2 × e^0.125 dx = ∫e^-0.25t^2 dt × e^0.125
由高斯积分公式，有：
咨询记录 · 回答于2024-01-08
2. 设随机变量X服从正态分布,其概率密度为f(x) = ce-0.25(x2+2x+1),求c。
负号那个是右上的
写过程，做好是手写的
由正态分布的概率密度函数有：
f(x) = 1/(σ√(2π))×e^(-(x-μ)^2/2σ^2)
其中，μ为均值，σ为标准差。
将题目中给出的概率密度函数进行化简，得到：
f(x) = c×e^(-0.25x^2-0.5x-0.25)
与正态分布的概率密度函数做比较，可以发现：
μ = -0.5/(-0.5×2) = 0.5
σ^2 = 1/(2×0.25) = 2
因此，c×∫e^(-0.25x^2-0.5x-0.25)dx = 1
对于这种形式的积分，一般需要通过配方法来求解。
即先将指数项里面的二次型部分写成完全平方形式，然后利用高斯积分公式来计算。
具体地，-0.25x^2-0.5x-0.25 = -0.25(x+1)^2 + 0.125
则有：∫e^(-0.25x^2-0.5x-0.25)dx = ∫e^-0.25(x+1)^2 × e^0.125 dx
令t = x+1，则dt = dx，代入上式可得：
∫e^-0.25(x+1)^2 × e^0.125 dx = ∫e^-0.25t^2 dt × e^0.125
由高斯积分公式，有：
∫e^-at^2 dt = √(π/a)，则∫e^-0.25(x+1)^2 × e^0.125 dx = e^0.125 × √(4π)×2 = 4e^0.125√π因此，c×4e^0.125√π = 1，解得c = 1/(4e^0.125√π) ≈ 0.4835。
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