Question

数学分析：极限为无穷大的数列有界吗

Answer 1

问：数学分析：极限为无穷大的数列有界吗

答：您好，很高兴为您解答，没有的哦，极限为无穷大的数列是没有界的哦。无穷大是一种状态，但是无穷大一定无界，但是无界不一定是无穷大，比如xcosx，当x趋于无穷时，她是无界的，但他并不是无穷大，因为cosx可能取到0，她是周期函数，

答：如果一个数列的项数n趋向于无穷大时，数列的极限存在，那么就称这个数列收敛。而对于函数，如果一个函数的自变量趋向于X0（或∞）时，它的因变量趋向某个特定值或者趋向∞那么就称函数在X0（或无穷大）处有极限。若一个数列收敛，那么这个数列就是有界数列，若一个函数在某点处有极限，那么这个函数在这个点处的去心领域内有界，也就是说局部有界。

问：那为什么说收敛的数列一定有界呢？极限为无穷大的数列不是收敛于无穷大吗？它为什么不是有界数列呢

答：收敛的数列一定有界是因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,n>N时,都有(n>N),从而有.取,则对一切的n,都有,所以数列有界.根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意：有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。

答：严格来说,极限无穷大是极限不存在.但是,我们经常自打耳光,例如,当x趋向于90度时,我们也会常常写成tanx的极限是无穷大.这样的例子举不胜举.