Question

7阶循环群的自同构群包含的元素

Answer 1

问：7阶循环群的自同构群包含的元素

答：你好，证设φ是欧拉函数.因为φ(1)=φ(2)=1，φ(3)=φ(4)=2， p(5)=4,，1阶和2阶循环群的自同构群都是--阶群,当然是循环群;3阶和4阶循环群的自同构群都是2阶群， 从而也是循环群; 5阶循环群的自同构群是4阶群，为证其为循环群，只要说明其有4阶自同构即可:易知p:xr>x4是5阶循环群的4阶自同构.由于6阶循环群有2个生成元，故其自同构群是一个2阶群，当然是循环群.最后，由于7阶循环群有6个生成元，故其自同构群是 一个6阶群,又易知σ(其中o(a)= a5)的阶为6,故此同构群是6阶循环群.

问：求8阶循环群的自同构群

问：OK

答：你好，设G是8阶循环群,a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素,故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。因为循环群的子群也是循环群,且子群的阶数是G 的阶数的因子,故G的子群只能是1 阶的、2阶的、4 阶的或8阶的。因为|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是该子群中a的最小正幂,故G的所有子群除两个平凡子群外,还有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。

答：抱歉哦，这个还查询不到