Question

21.(12分)已知函数 f(x)=(2alnx)/x+x g(x)=2x-1/x 其中ai R.-|||-(1)若方程 f

Answer 1

问：21.(12分)已知函数 f(x)=(2alnx)/x+x g(x)=2x-1/x 其中ai R.-|||-(1)若方程 f

答：您好，根据您的题目解答如下;由已知可得：f(x) = (2a ln x)/x + xg(x) = 2x - 1/x(1) 若方程 f(x) = g(x) 在 [1,e] 上存在唯一实数解，则有：(2a ln x)/x + x = 2x - 1/x移项化简得：(2a ln x)/x + 1/x = x - 2x(2a ln x + 1)/x = -x2a ln x + 1 = -x^2x^2 + 2a ln x + 1 = 0根据二次方程有唯一实数解的条件可知，其判别式 D = 4a - 4 <= 0。即 a <= 1。

答：(2) 在 [1,e] 上存在一点 t0，使得 xf(x) > x^2 + 2(a+1) + 2x 成立。将 f(x) 带入不等式中，得到：x(2a ln x/x + x) > x^2 + 2(a+1) + 2x2a ln x + x^2 > x^2 + 2(a+1) + 2x2a ln x > 2(a+1) + x2a ln x - x > 2a + 2根据题意可知，此不等式在 [1,e] 上成立，因此 x ∈ [1,e]。对不等式左侧的函数 y = 2a ln x - x 求导数，有：y' = 2a/x - 1

答：当 x = e 时，y' = 2a/e - 1 >= 0。因此 y 在 [1,e] 上单调递增。当 y = 2a ln 1 - 1 0 时，不等式不成立。当 y = 2a ln e - e >= 2a + 2 时，不等式成立。因此有：2a >= e + 2a >= (e + 2)/2综上可知，实数 a 的取值范围为 a ∈ [max{0, (e+2)/2}, 1]。