Question

设 X1～N(0,1) ,令X2＝｛-X1，-1≤X1≤1；X1，其他｝(1)证明 X2～N(0,1)(2)证明 (X1,X2) 不是二元正态分布

Answer 1

问：设 X1～N(0,1) ,令X2＝｛-X1，-1≤X1≤1；X1，其他｝(1)证明 X2～N(0,1)(2)证明 (X1,X2) 不是二元正态分布

答：(1) 要证明 $X^2 ~ N(0,1)$，需要证明 $X^2$ 的期望为 0，方差为 1。首先计算 $X^2$ 的期望： $E(X^2) = E(-X_1 | -1 \leq X_1 \leq 1) P(-1 \leq X_1 \leq 1) + E(X_1 | X_{11}) P(X_{11})$ $= (-\int_{-1, 1} x f(x) dx) P(-1 \leq X_1 \leq 1) + (\int_{\text{负无穷}, -1} xf(x) dx + \int(1, \text{正无穷}) xf(x) dx) (1-P(-1 \leq X_1 \leq 1))$ 其中 $f(x)$ 表示标准正态分布的概率密度函数。由于标准正态分布是对称的，所以有 $\int_{-a, a} f(x) dx = 2\int_{0, a} f(x) dx$。化简可得： $E(X^2) = 0$ 接下来计算 $X^2$ 的方差： Var(X^2) = E(X^4) - E(X^2)^2 = E(X^4) = E((X^2)^2) = E(-X_1^2 | -1 \leq X_1 \leq 1) P(-1 \leq X_1 \leq 1) + E(X_1^2 | X_{11}) P(X_{11})$ $= \int_{-1, 0} x^2 f(x) dx + \int_{0, 1} x^2 f(x) dx + \int_{\text{负无穷}, -1} x^2 f(x) dx + \int(1, \text{正无穷}) x^2 f(x) dx$ $= 2\int_{0, 1} x^2 f(x) dx + 2\int_{0, \text{正无穷}} x^2 f(x) dx$ $= 2/3 + 2/3$ 因此， $X^2 ~ N(0, 4/3)$，即可以通过对其进行线性变换使其服从标准正态分布 $N(0, 1)$，即 $Z = X^2 / \sqrt{4/3}$。

答：(2) 要证明 (X1,X2) 不是二元正态分布，只需找到一个反例即可。 设 Y = X1^2 + X2^2 ，则有： P(Y < r^2 ) = P(|X| < r) 这是一个圆形区域内的概率，而二元正态分布中圆形区域内的概率应该是椭圆形状。因此，可以发现 (X,Y) 不满足二元正态分布的性质。

问：(2) 要证明 (X1,X2) 不是二元正态分布，只需找到一个反例即可。设 Y = X12 + X22，则有： P(Y < r2) = P(|X| < r) 这是一个圆形区域内的概率，而二元正态分布中圆形区域内的概率应该是椭圆形状。因此，可以发现 (X,Y) 不满足二元正态分布的性质。 Y = X12 + X22 的意思是 X1的平方加上 X2的平方吗？

答：是的，Y=X1^2+X2^2 表示 X1 和 X2 的平方和。