Question

3.已知数列{an}的前n项和为Sn, a2=2, Sn=(n+1)an/2 数列{bn}的前n项和为Tn, b1=a1，Tn+1=Tn+2bn。（l）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=an/bn，求数列{Cn}的前n项和pn

Answer 1

问：3.已知数列{an}的前n项和为Sn, a2=2, Sn=(n+1)an/2 数列{bn}的前n项和为Tn, b1=a1，Tn+1=Tn+2bn。（l）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=an/bn，求数列{Cn}的前n项和pn

答：亲，根据你的描述，正在给你解答---3.已知数列{an}的前n项和为Sn, a2=2, Sn=(n+1)an/2 数列{bn}的前n项和为Tn, b1=a1，Tn+1=Tn+2bn。（l）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=an/bn，求数列{Cn}的前n项和pn(1) 数列 {an} 的通项公式为 an = 2(Sn/n -1)，数列 {bn} 的通项公式为 bn = n。(2) 数列 {cn} 的通项公式为 cn = 2(Sn/n - 1)/n，数列 {pn} 的前 n 项和为 pn = {n+1 \over n} Sn - 2Hn +2，其中 Hn 表示调和级数的前 n 项和。

答：您好亲，(1) 因为 Sn = (n+1)an/2，所以 an = 2(Sn/n - 1)，代入 a2 = 2 可得 S2 = 3a2，即 S2 = 6。因此有：a1 = 2( S1/1 - 1 ) = 2a2 = 2( S2/2 - 1 ) = 2对于数列 {bn}，有 Tn+1 = Tn + 2bn，因此 bn = (Tn+1 - Tn)/2。因为 b1 = a1 = 2，所以b2 = (T2 - T1)/2 = (2a1 + b1)/2 = 2b3 = (T3 - T2)/2 = (2a2 + b2)/2 = 3b4 = (T4 - T3)/2 = (2a3 + b3)/2 = 4......可以猜测 bn = n，通过归纳法证明：当 n = 1 时，显然成立，即 b1 = a1 = 2。假设当 n = k 时，有 bk = k 成立，则当 n = k+1 时，bk+1 = (Tk+2 - Tk+1)/2 = (2ak + bk)/2 = (2k + k)/2 = k+1。因此，得到数列 {an} 的通项公式为 an = 2(Sn/n -1)，数列 {bn} 的通项公式为 bn = n。(2) cn = an/bn = 2(Sn/n - 1)/n，因此有：pn = c1 + c2 + ... + cn= [2(S1/1 - 1)/1] + [2(S2/2 - 1)/2] + ... + [2(Sn/n - 1)/n]= 2{[S1/1 + S2/2 + ... + Sn/n]/n - [1/1 + 1/2 + ... + 1/n]}= 2{[(n+1)S n /(2n^2)] - [Hn - 1]}= {n+1 \over n} Sn - 2Hn +2其中，Hn 表示调和级数的前 n 项和。

问：还有别的方法吗

答：# 解答： (1) 对于数列 {an}，根据等差数列的前 n 项和公式，有 Sn = (a1 + an)n/2。因此，有 an = 2(Sn/n - a1)。又因为 a2=2，代入通项公式可得到 a1=0。因此，有 an = 2(Sn/n)。对于数列 {bn}，因为 b1=a1=0，且 Tn+1=Tn+2bn。因此，有 bn=(Tn+1-Tn)/2。同时，由于数列{bn} 是等差数列，其公差为 1，首项为 0。因此，有 bn=n。 (2) 令 cn=an/bn=2(Sn/n) / n。因此，有pn=c1+c2+...+cn=[2(S1/1)/1]+[2(S2/2)/2]+...+[2(Sn/n)/n]=2{[S1/1+S2/2+...+Sn/n]/n}={n+1\over n}Sn/n。其中 Sn = (n+1)an/2 = (n+1)S_n，而 S_n 表示数列{an}的前 n 项和。因此，有 pn = (n+1)/2。