Question

已知，AB是半径为1的圆O的弦，圆O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．（2）连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度，（3）如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若PD=1/2AD．求证：MH⊥CP

Answer 1

问：已知，AB是半径为1的圆O的弦，圆O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）。 （1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）。 （2）连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度。 （3）如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若PD=1/2AD。求证：MH⊥CP。 【分析】 （1）根据垂径定理和垂径定理的推论作图即可； （2）根据垂径定理和勾股定理计算即可； （3）根据题意证明∠D=∠F，∠F+∠FCP=∠DCP，推出∠DCP=∠CPF，根据等腰三角形的性质推出即可。 【解答】 （1）解：作法如下： ①连结OA、OB、OC、OD； ②过点O作AB、CD的垂线段OE、OF； ③分别以OA、OB为半径作圆弧交OE于点E、F； ④过点E、F作CD、AB的平行线段，分别交圆O于点D、C； ⑤连结AD、BC。 则所作图形中的CD即为所求作的弦CD。 （2）解：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变。理由如下： 连结BD，由垂径定理得$AD=BD$。在直角三角形ABD中，由勾股定理得$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$。因为$CD=AB$，所以$AD^{2}+BD^{2}=CD^{2}$。所以$AD=BD=CD$。 （3）证明：由题意知$HF=AH$。因为$CD=AB$，所以$CH＞DH$。因为$AH+BH=CH$，所以$AH＜BH$。所以$HF＜BH$。所以点B在CF上。因为CD⊥AB于点H，所以∠D+∠DHA=90°。因为∠F+∠DHA=90°，所以∠D=∠F。又因为CP平分∠HCF，所以∠FCP=∠HCP。又因为∠F+∠FCP=∠DCP，所以∠DCP=∠CPF。因为PD=1/2AD，所以PM=DM=1/2AD。又因为DM‖PD，所以四边形DPMN是平行四边形。所以MH‖DN。因为MH⊥CP，所以DN⊥CP。又因为CP平分∠HCF且PD‖MH，所以四边形MHCP是菱形。所以MH⊥CP。

答：嗯同学这道题有例图嘛

答：同学这道题我图片发送给你 你参考一下呢亲～

答：您看下第一题用我这个方法试下

答：这是二三题的答案

答：好多年没做过了呢 差点难倒我了

问：第二题应该是不变的吧

问：角Aob是九十度不变的，所以ad就是根号2吧

答：Ad 的长度不会变化的呢

答：我看一下

答：十分抱歉 是我错了

答：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是会变化。

答：# 在题目中，给出了弦AB的半径为1，即AB的长度为2。 ## 当弦AB为直径时，它经过圆心O，此时线段AD的长度是根号2（斜边为1，直角三角形的直角边长度为1）。 ### 而当AB变为一个任意长度小于直径的弦时，线段AD的长度会小于根号2，因为弦所对应的圆心角变小，直角三角形的直角边长度也会变小。 ### 所以，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是会变化的。 # 在题目中，具体计算AD的长度可能需要使用三角函数和勾股定理的组合来求解。

答：十分抱歉给您添麻烦 实在不好意思 我的失误

问：弦ab不是2，圆的半径才是1因为ch＝ah所以，角ach等于45度，所以角aoh等于90度，所以长度才不会变

问：我现在主要是第三题

答：嗯嗯是的呢 实在不好意思我的错误呢

答：第三题是有什么疑惑的地方吗