Question

21.在线性空间(C[-1,1] 中定义内积为< f,g>_(-1)^1f(x)g(x)dx ,两向量 k+x,x^

Answer 1

问：21.在线性空间(C[-1,1] 中定义内积为 f,g>_(-1)^1f(x)g(x)dx ,两向量 k+x,x^

答：首先，我们需要计算向量 k 和向量 x 的内积： k·x = ∫_{-1}^1 k(x)x(x)dx 由于 k(x) 是一个常数，我们可以将其提取出来： k·x = k ∫_{-1}^1 x(x)dx 由于 ∫_{-1}^1 x(x)dx = 0，因为 x(x) 是一个奇函数，所以： k·x = 0 接下来，我们需要计算向量 x 和向量 x^ 的内积： x·x^ = ∫_{-1}^1 x(x)x^(x)dx 由于 x(x) 和 x^(x) 都是奇函数，所以它们的乘积是偶函数，因此： x·x^ = 2∫_{0}^1 x(x)x^(x)dx 现在，我们需要计算 x^(x)。根据定义，x^(x) 是 x(x) 的导数，因此： x^(x) = d/dx(x(x)) = 1 因此，我们可以将 x^(x) 替换为 1，得到： x·x^ = 2∫_{0}^1 x(x)dx 由于 x(x) 是一个奇函数，它在区间 [-1,1] 上的积分等于 0，因此： x·x^ = 0 综上所述， k+x·x^ = k·x^ + x·x^ = 0 + 0 = 0。

问：21题

答：您好，请您清晰的表述出您的问题，图中的题目不清晰，建议您复制粘贴发给我哦~~

答：首先，我们计算向量 \(k+x\) 和 \(x^3\) 的内积： \( (k+x) , (x^3) \geq \int_{-1}^{1} (k+x)(x^3) dx \) \( = \int_{-1}^{1} (kx^3 + x^4) dx \) \( = [ \frac{k}{4} x^4 + \frac{1}{5} x^5 ]_{-1}^{1} \) \( = \frac{k}{2} \) 然后，我们计算向量 \(k+x\) 和 \(x^3\) 的模长： \( ||k+x|| = \sqrt{( k+x ) , ( k+x ) } \) \( = \sqrt{\int_{-1}^{1} (k+x)^2 dx} \) \( = \sqrt{2k^2 + \frac{2k}{3} + \frac{2}{5}} \) \( ||x^3|| = \sqrt{( x^3 ) , ( x^3 ) } \) \( = \sqrt{\int_{-1}^{1} (x^3)^2 dx} \) \( = \sqrt{\frac{2}{7}} \) 由于向量 \(k+x\) 和 \(x^3\) 的夹角为 \(\frac{\pi}{3}\)，根据余弦定理： \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{(k+x) , (x^3)}{||k+x|| ||x^3||} \) 代入上面计算的结果，我们得到： \(\frac{1}{2} = \frac{k}{2} / (\sqrt{2k^2 + \frac{2k}{3} + \frac{2}{5}} \sqrt{\frac{2}{7}}) \) 化简得： \(7k^2 + 7k/3 + 1/5 = 28\) 解方程得： \(k = \pm\sqrt{\frac{15}{7}}\) 由于 \(k+x\) 和 \(x^3\) 的夹角为 \(\frac{\pi}{3}\)，所以 \(k+x\) 和 \(x^3\) 的夹角的余弦为： \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{(k+x) , (x^3)}{||k+x|| ||x^3||} \) 代入 k 的值，我们得到： \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \pm(\sqrt{\frac{15}{14}} / \sqrt{\frac{2}{7}}) \) 因为夹角为 \(\frac{\pi}{3}\)，所以余弦为 1/2，解方程得到： \(k = \sqrt{\frac{15}{7}}\)