Question

微分方程x²y'=y-xy的通解

Answer 1

问：微分方程x²y'=y-xy的通解

答：你好，微分方程x²y'=y-xy的通解为y=Cx+Ce^(-1/x)，其中C为常数。这个微分方程可以用分离变量的方法得到通解。首先将方程变形为dy/dx=(y/x)-1，然后将公式左右两边除以y-xy/x得到(dy/(y-xy))=(dx/x)，接着对方程两边进行积分可得ln|y-xy|=ln|x|+C₁，移项并取指数可得|y-xy|=e^(C₁)x，继续移项并取正负号可得y=Cx+Ce^(-1/x)，其中C为常数哦。

答：该微分方程是一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法或者伯努利方程来求解。常数变易法的通解形式为y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C)，其中P(x)为系数函数，Q(x)为非齐次项函数。将该微分方程化为标准形式可得y'-(1/x)y=-1/x^3，所以P(x)=-1/x，Q(x)=-1/x^3。带入常数变易法公式中可得通解为y=Cx+Ce^(-1/x)。同样，可以使用伯努利方程将该微分方程化为线性齐次微分方程来求解。假设y=uv，则y'=u'v+uv'，带入原微分方程可得vu'+(-1)uv/x=-1/x^3，整理可得u'/u-1/x=-1/vx，所以借助变量替换u=e^(∫1/x dx)=x，v=-1/u=-1/x可以将原微分方程化为线性齐次微分方程y'+(1/x)y=0。求解该齐次微分方程可得到通解y=Cx。通过方法的验证可以发现，y=Cx满足非齐次微分方程，所以通解为y=Cx+Ce^(-1/x)。

问：微分方程(1+x²)y'+y=0的通解

答：微分方程(1+x²)y'+y=0的通解为y=C(1+x²)^(-1/2)，其中C为任意常数哦。这是一个一阶非齐次线性微分方程，可用常数变易法来求解。先求其齐次方程(1+x²)y'=0的通解，得到y=C1(1+x²)^(1/2)。由于原方程的右侧并不为零，所以我们需要寻找一个特解来解决非齐次部分的影响。考虑试解y=A，带入方程得到A=0，即特解为常数0。所以，该方程的通解为齐次通解与特解的和，即y=C1(1+x²)^(1/2)+C2(1+x²)^(-1/2)，其中C1、C2为任意常数。微分方程(1+x²)y'+y=0的通解为y=C(1+x²)^(-1/2)，其中C为任意常数。

问：谢谢老师

问：没有了