Question

∫(1-x)/根号下(1+x^2)dx

Answer 1

问：∫(1-x)/根号下(1+x^2)dx

答：亲你好，很高兴为你服务。 我们可以通过换元法来解决这个积分。令 $u = 1 + x^2$，那么 $\frac{du}{dx} = 2x$，从而 $dx = \frac{du}{2x}$。 将 $x$ 和 $dx$ 用 $u$ 和 $du$ 表示，得到： $\int \frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{1-1/u}{2\sqrt{u}} du$ 这是一个比较简单的积分，可以通过直接计算来求得： $\int \frac{1-1/u}{2\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int (\sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}}) du$ $= \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{u}) + C$ $= \frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} - x\sqrt{1+x^2} + C$ 因此，原始积分的解是： $\int \frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} dx = \frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} - x\sqrt{1+x^2} + C$