Question

在三维线性空间 R[x]_2 中,定义线性变换 :(f(x)=f(x)+(x+2)f'(x) ,则的特征值

Answer 1

问：在三维线性空间 R[x]_2 中,定义线性变换 :(f(x)=f(x)+(x+2)f'(x) ,则的特征值

答：你好，该线性变换的特征值为2哦。首先需要知道什么是特征值和特征向量。在线性代数中，对于一个线性变换，如果存在一个非零向量使得该向量经过线性变换后与原向量同向或反向，那么我们称此向量是该线性变换的特征向量，而该特征向量对应的比例系数就是特征值。所以，我们要求解此线性变换的特征值，就需要找到满足方程(f(x) + (x+2)f'(x))k = λk的非零解k和特征值λ。将f(x) + (x+2)f'(x)展开得到f(x) + xf'(x) + 2f'(x)，则方程可化为(f(x) + xf'(x) + 2f'(x))k = λk。化简可得(f(x) + xf'(x))k + 2f'(x)k = λk。由于k是非零向量，所以2f'(x)k必不为零，所以有(f(x) + xf'(x))k = (λ-2)f'(x)k。所以特征值λ-2是f'(x)的根，即λ-2=1或λ-2=-1，所以特征值λ为2或0。但是我们发现当λ=0时，要求得非零解k需要解(f(x) + xf'(x))k = 0，即f(x) + xf'(x) = 0，这是一个一阶齐次线性微分方程，其通解为k = Cexp(-x^2/2)，显然k=0时是一个平凡解，所以特征值为0时没有特征向量。综上所述，该线性变换的特征值为2。