Question

求[(sinx)^x-x^x]/x^3在x→0+时的极限【不用洛必达法则】

Answer 1

问：求[(sinx)^x-x^x]/x^3在x→0+时的极限【不用洛必达法则】

答：首先，我们可以把式子改写成以下形式： [(sinx)^x - x^x] / x^3 = [e^(xln(sinx)) - e^(xlnx)] / x^3 接下来，我们对式子进行化简： e^(xln(sinx)) = [e^(ln(sinx))]^x = (sinx)^x 因为 sinx/x → 1，所以 ln(sinx)/x → 0，所以 e^(ln(sinx)/x) → 1，因此 (sin(x))^x / e^xlnx → 1 同时，e^(xlnx) = x^x 因此，原式可以改写为： [(sinx)^x - x^x] / x^3 = [(sinx)^x / x^x - 1] / (x^2) 令 t = x^2，那么当 x → 0+ 时，t 也会趋近于 0。 因此， lim [(sinx)^x - x^x] / x^3 = lim [(sinx)^x / x^x - 1] / (x^2) = lim [(sinx)^x / x^x - 1] / t, t → 0+ 根据指数函数的极限性质， (sinx)^x / x^x → 1 因此， lim [(sinx)^x / x^x - 1] / t = lim [(sinx)^x / x^x] / t - lim 1/t = lim [(sinx)^x / x^x] / (x^2) - lim 1/(x^2) = 1/2 - ∞ 根据算术运算法则，这个式子的极限不存在。 因此，原式在 x → 0+ 时不存在极限。