Question

在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,E为DC边上一点,把△BCE沿BE翻折,使点E落在AD上点F处，FN⊥BE，点M是AF的中点，求MN的长

Answer 1

问：在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,E为DC边上一点,把△BCE沿BE翻折,使点E落在AD上点F处，FN⊥BE，点M是AF的中点，求MN的长

答：因为矩形ABCD的两个对边相等，所以AD=BC=12。由于翻折后FE=BC=12，所以矩形AEFD的长和宽分别为9和12。由于M是AF的中点，所以AM=MF=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}\sqrt{9^2+12^2}=\frac{1}{2}\cdot 15=7.5。由于FN⊥BE，因此FN是BE上的高。由于$\triangle BFC \sim \triangle EFN$，因此$\frac{FN}{BE}=\frac{BF}{BC}$。由于BF=AD-AB=12-9=3，BC=12，因此$\frac{FN}{12}=\frac{1}{4}$，即$FN=3$。由于$\triangle FEN$是45-45-90直角三角形，因此EN=FN$\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。由于M是AF的中点，因此$\triangle AMF$是直角三角形。因此，AM=MF=\frac{1}{\sqrt{2}}AF=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9^2+12^2}=10.6066。由于$\triangle EFN$和$\triangl

答：由于$\triangle EFN$和$\triangle AMF$是直角三角形，且它们的直角边都是共边的，因此它们全等。因此，$EN=AM=10.6066$。因此MN=EN-EM=10.6066-7.5=3.1066。所以MN约为$\boxed{3.11}$。