在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,AD的中点,FG⊥AE于点G.求证:△ABE∽△FGA.
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如图,连接AG、BG,并延长FG交BC于点H。
由题意可得AE=EC,AF=FD,AE=AF,
因此△AEF为等腰三角形,即EF为△AEF的中线,
所以EF∥AB,又因为AE=2BE,
所以EF=AB/2=BC/2,即EF为△BCD的中线,
故EF∥CD。
又因为FG⊥AE,所以FG∥EG,
所以FG∥AD,即△FGA与△ABD的两边平行,
所以它们是相似的。
又因为BE是△ABD的中线,所以BE=AD/2,
又因为AE=EC,所以AE=AD/3,故BE:AE=2:3。
同理可得FG=AG-FG=AG-AE/2=AD-2AE/3=AD-2BE/3,
故FG:AG=AD-2BE:AD=1-2/3=1/3,即FG:AG=1:3。
因此,△ABE∽△FGA。
咨询记录 · 回答于2024-01-06
在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,AD的中点,FG⊥AE于点G.求证:△ABE∽△FGA.
亲爱的用户,非常高兴能为您解答这个问题:
我们可以看到,连接AG和BG,并将线段FG延长,使其与线段BC在点H处相交。根据题目给出的条件,我们可以得知AE等于EC,AF等于FD,同时AE也等于AF。由此,我们可以推断出△AEF是一个等腰三角形,这意味着线段EF是△AEF的中线。因此,线段EF与线段AB平行。
另外,由于AE等于2倍的BE,我们可以得出EF等于AB的一半,即EF等于BC的一半。这说明线段EF是△BCD的中线,所以线段EF与线段CD平行。
进一步地,由于线段FG与线段AE垂直,我们可以得出线段FG与线段EG平行。因此,线段FG与线段AD平行。这就意味着△FGA的两边与△ABD的两边平行,所以它们是相似的。
再进一步地,由于BE是△ABD的中线,我们可以得出BE等于AD的一半。同时,由于AE等于EC,我们可以得出AE等于AD的三分之一。因此,BE与AE的比例是2:3。
类似地,我们可以得出线段FG等于AG减去EF,即FG等于AG减去AE的一半。这可以进一步化简为FG等于AD减去2倍的AE的三分之二,即FG等于AD减去2倍的BE的三分之二。因此,FG与AG的比例是AD减去2倍的BE与AD的比例,即1减去三分之二,等于三分之一。所以,FG与AG的比例是1:3。
综上所述,我们可以得出结论:△ABE与△FGA是相似的。
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**相关拓展**:
**相似三角形的判定**:
1. 两角分别对应相等的两个三角形相似。
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3. 三边成比例的两个三角形相似。
4. 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5. 用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边,分别对应成比例,如果三组对应边相比都相同,则三角形相似。
6. 三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
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