在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,AD的中点,FG⊥AE于点G.求证:△ABE∽△FGA.
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如图，连接AG、BG，并延长FG交BC于点H。
由题意可得AE=EC，AF=FD，AE=AF，
因此△AEF为等腰三角形，即EF为△AEF的中线，
所以EF∥AB，又因为AE=2BE，
所以EF=AB/2=BC/2，即EF为△BCD的中线，
故EF∥CD。
又因为FG⊥AE，所以FG∥EG，
所以FG∥AD，即△FGA与△ABD的两边平行，
所以它们是相似的。
又因为BE是△ABD的中线，所以BE=AD/2，
又因为AE=EC，所以AE=AD/3，故BE:AE=2:3。
同理可得FG=AG-FG=AG-AE/2=AD-2AE/3=AD-2BE/3，
故FG:AG=AD-2BE:AD=1-2/3=1/3，即FG:AG=1:3。
因此，△ABE∽△FGA。
咨询记录 · 回答于2024-01-06
在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,AD的中点,FG⊥AE于点G.求证:△ABE∽△FGA.
亲爱的用户，非常高兴能为您解答这个问题：
我们可以看到，连接AG和BG，并将线段FG延长，使其与线段BC在点H处相交。根据题目给出的条件，我们可以得知AE等于EC，AF等于FD，同时AE也等于AF。由此，我们可以推断出△AEF是一个等腰三角形，这意味着线段EF是△AEF的中线。因此，线段EF与线段AB平行。
另外，由于AE等于2倍的BE，我们可以得出EF等于AB的一半，即EF等于BC的一半。这说明线段EF是△BCD的中线，所以线段EF与线段CD平行。
进一步地，由于线段FG与线段AE垂直，我们可以得出线段FG与线段EG平行。因此，线段FG与线段AD平行。这就意味着△FGA的两边与△ABD的两边平行，所以它们是相似的。
再进一步地，由于BE是△ABD的中线，我们可以得出BE等于AD的一半。同时，由于AE等于EC，我们可以得出AE等于AD的三分之一。因此，BE与AE的比例是2:3。
类似地，我们可以得出线段FG等于AG减去EF，即FG等于AG减去AE的一半。这可以进一步化简为FG等于AD减去2倍的AE的三分之二，即FG等于AD减去2倍的BE的三分之二。因此，FG与AG的比例是AD减去2倍的BE与AD的比例，即1减去三分之二，等于三分之一。所以，FG与AG的比例是1:3。
综上所述，我们可以得出结论：△ABE与△FGA是相似的。
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**相关拓展**：
**相似三角形的判定**：
1. 两角分别对应相等的两个三角形相似。
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3. 三边成比例的两个三角形相似。
4. 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5. 用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
6. 三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
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