二重积分计算

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摘要 ∫∫_D √(y - x²) dxdy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) dy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) d(y - x²)= ∫(-1-->1) (2/3)(y - x²)^(3/2) |(0-->2) dx= ∫(-1-->1) (2/3)(2 - x²)^(3/2) dx= (4/3)∫(0-->1) (2 - x²)^(3/2) dx令x = √2sinθ,dx = √2cosθdθ当x = 0,θ = 0,当x = 1,θ = π/4= (4/3)∫(0-->π/4) (2 - 2sin²θ)^(3/2) √2cosθdθ= (4/3)(2√2)(√2)∫(0-->π/4) cos⁴θ dθ= (16/3)∫(0-->π/4) [(1 + cos2θ)/2]² dθ= (4/3)∫(0-->π/4) (1 + 2cos2θ + cos²2θ) dθ= (4/3)∫(0-->π/4) (1 + 2cos2θ) dθ + (2/3)∫(0-->π/4) (1 + cos4θ) dθ=

咨询记录 · 回答于2023-02-27

二重积分计算

这位同学你好，麻烦给老师发一下题目原题的图片可以吗？方便老师进一步理解题目，给您做出最正确的答复。

我写的这个式子不会算麻烦步骤详细一些谢谢，就是根号下x^2-y不知道咋积分

∫∫_D √(y - x²) dxdy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) dy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) d(y - x²)= ∫(-1-->1) (2/3)(y - x²)^(3/2) |(0-->2) dx= ∫(-1-->1) (2/3)(2 - x²)^(3/2) dx= (4/3)∫(0-->1) (2 - x²)^(3/2) dx令x = √2sinθ,dx = √2cosθdθ当x = 0,θ = 0,当x = 1,θ = π/4= (4/3)∫(0-->π/4) (2 - 2sin²θ)^(3/2) √2cosθdθ= (4/3)(2√2)(√2)∫(0-->π/4) cos⁴θ dθ= (16/3)∫(0-->π/4) [(1 + cos2θ)/2]² dθ= (4/3)∫(0-->π/4) (1 + 2cos2θ + cos²2θ) dθ= (4/3)∫(0-->π/4) (1 + 2cos2θ) dθ + (2/3)∫(0-->π/4) (1 + cos4θ) dθ=

这题是不是很难算啊