Question

5.(10.0分)若 D={(x,y)||x|+|y|1} 则积分 [(2+x)dxcy= ()()-|||-A 2-|||-B 4-

Answer 1

问：5.(10.0分)若 D={(x,y)||x|+|y|1} 则积分 [(2+x)dxcy= ()()-|||-A 2-|||-B 4-

答：首先，根据题目中的条件可知，D是一个以坐标轴为对称轴的正方形，边长为2。然后，将积分区域D分为四个部分：当x≥0，y≥0时，积分区域为D1={(x,y)|x+y≤1}；当x<0，y≥0时，积分区域为D2={(x,y)|-x+y≤1}；当x<0，y<0时，积分区域为D3={(x,y)|-x-y≤1}；当x≥0，y<0时，积分区域为D4={(x,y)|x-y≤1}。因为D是一个以坐标轴为对称轴的正方形，所以D1、D2、D3、D4的积分值相等。考虑在D1中进行积分。根据题目中给出的积分式，有：$\iint_{D1}(2+x)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(2+x)dxdy$$=\int_{0}^{1}(2x+\frac{1}{2}x^2)|{0}^{1-x}dy$$=\int{0}^{1}(1-\frac{1}{2}y)^2dy$$=\frac{1}{3}$所以，在D1、D2、D3、D4中进行积分得到的值相等，即：$\iint_{D}(2+x)dxdy=4\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}$最终答案为：$\int_{-2}^{2}\int_{-1-|x|}^{1+|x|}(2+x)dxdy=\frac{4}{3}-\int_{-2}^{2}\int_{1+|x|}^{2}(2+x)dxdy$ $=\frac{4}{3}-\int_{-2}^{0}\int_{1+x}^{2}(2+x)dxdy-\int_{0}^{2}\int_{1-x}^{2}(2+x)dxdy$ $=\frac{4}{3}-\frac{7}{6}-\frac{7}{6}$ $=-\frac{1}{2}$