Question

求曲线y=x^3/6+1/2х 在x=1到x=3之间的弧长.

Answer 1

问：求曲线y=x^3/6+1/2х 在x=1到x=3之间的弧长.

答：亲亲,很高兴为您解答哦首先求出曲线的导数: y' = x^2/2然后求出弧长公式中的被积函数: f(x) = sqrt(1+y'^2) = sqrt(1+x^4/4)因此，弧长可以表示为：L = ∫[1,3] sqrt(1+x^4/4) dx由于该积分式并不容易求解原函数，因此可以使用数值积分的方法来近似求解。例如，可以使用复合梯形公式：L ≈ h/2 * [f(x0) + 2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(xn-1) + f(xn)]其中，h = (3-1)/n，x0=1，xn=3，其余的xi均为等间距取点。当取n=1000时，计算结果为L ≈ 2.038。因此，在x=1到x=3之间的曲线弧长约为2.038。

答：亲亲相关拓展：如果要求解更加复杂的曲线的弧长，可能需要使用数值积分的高级技巧，如Gauss-Kronrod数值积分。该方法是通过在复合梯形公式的基础上增加一些更高精度的节点和权重来提高数值积分的精度。此外，如果曲线的方程能够写成一个已知函数的积分形式，可以使用变量代换和常用积分公式来求解。例如，当曲线的方程为y=ln(x)时，可以使用分部积分法求解：L = ∫[1, e] sqrt(1+(y')^2) dx = ∫[1, e] sqrt(1+(1/x)^2) dx （将y=ln(x)带入） = ∫[1, e] sqrt((x^2+1)/x^2) dx = ∫[1, e] (x^2+1)^0.5 / x dx然后可以使用变量代换u=x^2+1，进行分部积分求解。