Question

不定积分x/（2×+1）（3×-4）dx

Answer 1

问：不定积分x/（2×+1）（3×-4）dx

答：亲您好很荣幸为您解答哦!不定积分x/（2×+1）（3×-4）dx的解答如下：首先，将被积函数拆分为两个分式：\frac{x}{2\times 1 \times (3x-4)} = \frac{A}{2x} + \frac{B}{3x-4}通分并整理得：x = \frac{A(3x-4) + B(2x)}{2x(3x-4)}化简得：x = \frac{(A+2B)x - 4A}{6x-8}比较系数得：begin{cases} A+2B = 0 \ -4A = 1 \end{cases}解得：begin{cases} A = -\frac{1}{4} \ B = \frac{1}{8} \end{cases}

答：因此，原式可以拆分为两个分式：

答：$$\frac{x}{2\times 1 \times (3x-4)} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2x} + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3x-4}$$然后，对两个分式分别进行不定积分：$$\int -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2x} dx = -\frac{1}{8}\ln|x| + C_1$$$$\int \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3x-4} dx = \frac{1}{24}\ln|3x-4| + C_2$$因此，原式的不定积分为：$$\int \frac{x}{2\times 1 \times (3x-4)} dx = -\frac{1}{8}\ln|x| + \frac{1}{24}\ln|3x-4| + C$$其中，$C = C_1 + C_2$ 为积分常数。