Question

14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵,

Answer 1

问：14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵,

答：您好呀！这个问题很有意思呢。根据题目要求，我们需要证明如果矩阵A是正定实对称矩阵，那么矩阵A的逆矩阵A^(-1)也是正定实对称矩阵。首先，我们知道正定实对称矩阵的定义是：对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示x的转置。现在，我们来证明A^(-1)也满足这个定义。假设y是一个非零向量，孝弊那么我们可以令x = A^(-1) * y。由于A是正定实对称矩阵，所以有 x^T * A * x > 0。将x = A^(-1) * y代入，就得到了 y^T * (A^(-1))^T * A * A^(-1) * y > 0。由于巧亮族A是实对称矩阵，所以A^(-1)也是实对称矩阵，即(A^(-1))^T = A^(-1)。因此，上式可以简化键禅为 y^T * A^(-1) * A * A^(-1) * y > 0。进一步简化可以得到 y^T * A^(-1) * A^(-1) * y > 0，即 y^T * (A^(-1))^T * A^(-1) * y > 0。这就证明了A^(-1)也是正定实对称矩阵。证毕！

问：12.已知R'中的两则竖滑组基aaa与β;，βz，孙腊β，β,其中a:=(1,0,0,0),az=(0,1,0,0),a3=(0,0,1,0),a;=(0,0,o,1), p:=(2,1,-1,1),β2=(0,3,1,0),β;=(5,3,2,1),β;=(6,6,1,3).求a:aza;到β;ββ,β的过渡纤凳矩阵.

答：您好数庆大呀，根据您薯竖的问题，我们需要求解从基组a:aza;到基组β;ββ,β的过渡矩阵。首先，我们需要将基组a:aza;和基组β;ββ,β表示成矩阵形式。将基组a:aza;表示为A矩阵，基组β;ββ,β表示为B矩阵，分别为：A = [[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0],[0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 1]]B = [[5, 3, 2, 1],[6, 6, 1, 3],[0, 3, 1, 0],[2, 1, -1, 1]]接下来，我们需要求解过渡矩阵T，使得B = AT。即：T = B * A^(-1)我们先计算A的逆矩阵A^(-1)：A^(-1) = [[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0],[0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 1]]将B和A^(-1)相乘，得到过渡矩阵T：T = [[5, 3, 2, 1],[6, 6, 1, 3],[0, 3, 1, 0],[2, 1, -1, 1]]因此，a:aza;到差坦β;ββ,β的过渡矩阵为T。

问：设A＝1 4 2， 0 —3 4 0 4 3求一个可逆矩阵派袭T使蔽羡吵宏侍TAT为对角矩阵.

答：你好呀！根据题目要求，我们需要找到一个可逆矩阵T，使得TAT为对角矩阵。首先，我们需要求出矩阵A的特征值和特征向量。求解特征值：首先，我们计算A的特征多项式：det(A - λI) = 0其中，I为单位矩阵，λ为特征值。化简得到：|1-λ 4 2 ||0 -3-λ 4 ||0 4 3-λ| = 0展开计帆唯算后得到一个三次方程：(1-λ)(-3-λ)(3-λ)+4(4(3-λ)-2(4)+0)=0化简得到：(1-λ)(-3-λ)(3-λ)+32=0解这个三次方程我们得到三个特征值：λ1=5，λ2=-2，λ3=-1。求解特征向量：我们分别求解对应于特征值λ1=5，λ2=-2，λ3=-1的特征向量。对于λ1=5，我们需要求解方程组：(A-5I)X=0即：|1-5 4 2 ||0 -3-5 4 ||0 4 3-5|X=0化简得到：|-4 4 2 ||0 -8 4 ||0 4 -2|X=0解方程组，我们可以得到一个特征向量高轿物V1=[1, 0, -1]。同理，对于特征值λ2=-2，我们可以得到特征向量V2=[1, -2, 1]。对于特征值λ3=-1，我们可以得到特征向量V3=[1, -1, 1]。将特征向量V1，V2，V3排列成矩阵T，即可得到一个可逆矩阵T。将矩阵T乘以矩阵A再乘戚液以矩阵T的逆矩阵，即可得到TAT为对角矩阵。