Question

14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵

Answer 1

问：14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵

答：是的，A是正定实对称矩阵的话，可以证明A的逆矩阵A^(-1)也是正定实对称矩阵。证明如下：首先，由于A是正定实对称矩阵，所以A的特征值都是正数，即λ>0，其中λ是A的特征值。设x是A的特征向量，对应的特征值是λ>0，即Ax=λx。我们需要证明A^(-1)的特征值也都是正数。由于Ax=λx，两边同时乘以A^(-1)，得到A^(-1)Ax=A^(-1)λx，即x=A^(-1)λx。这说明x也是A^(-1)的特征向量，对应的特征值是λ^(-1)>0，即A^(-1)x=λ^(-1)x。因此，A^(-1)的特征值都是正数，所以A^(-1)也是正定实对称矩阵哦。

答：正定实对称矩阵的定义是：对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，其中x^T表示x的转置。证明A的逆矩阵A^(-1)也是正定实对称矩阵可以通过特征值的角度进行证明。根据特征值的定义，A的特征值λ满足det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。由于A是正定实对称矩阵，所以A可以进行特征值分解，即A=QΛQ^T，其中Q是正交矩阵，Λ是对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。由于A是正定实对称矩阵，所以A^(-1)也可以进行特征值分解，即A^(-1)=QΛ^(-1)Q^T。由于A的特征值都是正数，所以A^(-1)的特征值都是正数。因此，A^(-1)也是正定实对称矩阵哦。

问：请给出标准解题步骤，不要思路

答：设A是正定实对称矩阵。步骤1：证明A的特征值都是正数。假设λ是A的特征值，x是对应的特征向量，即Ax=λx。将等式两边同时乘以x的转置：x^TAx=x^T(λx)。由于A是实对称矩阵，所以x^TAx=x^T(A^T)x=(Ax)^Tx=λx^Tx。由于x不为零向量，所以x^Tx>0。因此，x^TAx=λx^Tx>0，即λ>0。由此可得，A的特征值都是正数。步骤2：证明A的逆矩阵A^(-1)存在。由于A是正定矩阵，所以A的特征值都是正数，即λ>0。根据线性代数的定理，A的特征值的倒数1/λ存在，即λ^(-1)>0。因此，A的逆矩阵A^(-1)存在。步骤3：证明A^(-1)是正定实对称矩阵。假设x是非零向量。由于A是正定实对称矩阵，所以x^TAx>0。将等式两边同时乘以A^(-1)的转置：(A^(-1)x)^TAx=(A^(-1)x)^T(Ax)。由于A是实对称矩阵，所以(A^(-1)x)^TAx=(A^(-1)x)^T(A^T)x=(A^(-1)Ax)^Tx=(λ^(-1)x)^Tx。由于x不为零向量，所以x^Tx>0。因此，(A^(-1)x)^TAx=(λ^(-1)x)^Tx>0。由此可得，A^(-1)是正定实对称矩阵哦。

问：能否将解题步骤写在纸上，拍个图片发给我

答：亲，这边图片是发不出去的哦。

问：x^T是什么意思，可以直接抄上吗？

答：x^T 表示向量 x 的转置。它是将向量 x 的行转换为列，列转换为行的操作。你可以直接将向量 x 写出来，然后在上方加一个小 T 来表示转置哦。