Question

12.计算定积分 ∫π π/2 xsinxdx

Answer 1

问：12.计算定积分 ∫π π/2 xsinxdx

答：亲，你好！很高兴为您解答。对于定积分 ∫π π/2 xsinxdx，答案是-π/2。

答：这个问题可以通过使用分部积分法来解决哦。根据分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，我们可以选择 u(x) = x 和 v'(x) = sin(x)。首先，计算出 u'(x) 和 v(x) 分别为 1 和 -cos(x)。然后，将它们代入分部积分公式，得到：∫π π/2 xsinxdx = -xcos(x)|π π/2 + ∫π π/2 cos(x)dx计算继续进行，我们得到：= -π/2cos(π/2) + cos(π) - (-πcos(π)) + π/2cos(π/2)= -π/2 + 0 - (0 - π) + π/2= -π/2于是，定积分 ∫π π/2 xsinxdx 的值为 -π/2。

答：亲，该定积分可以通过换元法来求解。我们令 u = sinx ，则 du = cosxdx ，将其代入原式得到 ∫π π/2 xsinxdx = ∫-1 1 arcsindudu 。继续化简，我们有 ∫-1 1 arcsindudu = [uarcsinu - ∫(1/u√(1-u^2))du] ，其中 ∫(1/u√(1-u^2))du 是一个常见的反三角函数积分。对于 ∫(1/u√(1-u^2))du ，我们可以进行一次分部积分，令 dv = du ，v = u ，得到：∫(1/u√(1-u^2))du = u√(1-u^2) - ∫u * (-1/2)(1-u^2)^(-1/2) * (-2u) du = u√(1-u^2) + ∫u^2 / √(1-u^2) du再次化简得到：∫(1/u√(1-u^2))du = u√(1-u^2) + ∫(1-u^2 - 1) / √(1-u^2) du = u√(1-u^2) + ∫(1/√(1-u^2) - 1) du = u√(1-u^2) + arcsinu - u + C将其代入之前的式子，得到：[uarcsinu - ∫(1/u√(1-u^2))du] = [uarcsinu - (u√(1-u^2) + arcsinu - u)] + C = (u-arcsinu)*(1-√(1-u^2)) + C再代入原始的上下限 π 和 π/2 ，我们有：[(π-arcsin(π/2))*(1-√(1-(π/2)^2))] - [(π/2-arcsin(π/2))*(1-√(1-(π/2)^2))] + C经过计算，最终得到结果为 -π/2。